donc on aura
![{\displaystyle \mathrm {T} ={\Bigl [}t-f\left[(x')(x'')\right]{\Bigr ]}\times {\Bigl [}t-f\left[(x'')(x')\right]{\Bigr ]}\times {\Bigl [}t-f\left[(x')^{2}\right]{\Bigr ]}\times {\Bigl [}t-f\left[(x'')^{2}\right]{\Bigr ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f97d88f63e9b39bfa6b043971808de681a95252f)
Or, si l’on considère la fonction
et qu’on fasse
qu’on élimine ensuite
de l’équation
par le moyen de l’équation
on aura l’équation
où
sera une fonction rationnelle de
et de
Et désignant par
et
les valeurs de
qui résultent de la substitution de
à la place de
on aura
![{\displaystyle \theta =\xi '\xi ''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd716a6f271d2d380e48adf3f02d79b203c22643)
Mais on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi '\ =&t-f\left[(x')^{2}\right],\\\xi ''=&t-f\left[(x'')^{2}\right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/302343aa2337fd7a0353d17f50b3d6e38dd8207e)
donc
![{\displaystyle \theta ={\Bigl [}t-f\left[(x')^{2}\right]{\Bigr ]}\times {\Bigl [}t-f\left[(x'')^{2}\right]{\Bigr ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a06ef850d4c4d46742fd108dbc011e07937d91b)
Faisons
![{\displaystyle \Theta ={\Bigl [}t-f\left[(x')(x'')\right]{\Bigr ]}\times {\Bigl [}t-f\left[(x'')(x')\right]{\Bigr ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1c86228d56ca4c791ba4ab337526f90f4ac2490)
et l’on aura
et par conséquent
de sorte que, comme
et
sont des fonctions rationnelles de
et
il est clair que
sera aussi une fonction rationnelle de ![{\displaystyle t,m,n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac3ad727cbaa293e535b1ed44c655360fe41d5d2)
Ainsi l’équation
pourra se décomposer en ces deux-ci
et
et comme la première est celle qui donne la valeur de
il s’ensuit que la détermination de la fonction proposée
dépendra uniquement de l’autre équation
Donc, pour trouver cette équation
qui résout le Problème, il n’y aura qu’à éliminer des équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}&t-f\left[(x)(y)\right]=0,\\&t-f\left[(x)^{2}\right]=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be3e8d397877dcdfcc9756cd606b7635b0019f14)
les inconnues
ety par le moyen des équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+mx+n=&0,\\y^{2}+my+n=&0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/407359fa838d304458ea2a31f95bc156b38df5e7)