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j’aurai ainsi l’équation

$t-f\left[(x)(y)\right]=0,$

d’où il s’agira de chasser $x$ et $y$ par le moyen des deux équations

${\begin{aligned}x^{2}+mx+n=&0,\\y^{2}+my+n=&0.\end{aligned}}$

Soit

$t-f\left[(x)(y)\right]=\mathrm {X} \,;$

on chassera d’abord $x$ de l’équation $\mathrm {X} =0$ par le moyen de l’équation $x^{2}+mx+n=0,$ ce qui donnera une équation que je désignerai par $\mathrm {Y} =0,$ et dans laquelle $\mathrm {Y}$ sera une fonction rationnelle des quantités $t,m,n$ et $y.$ On chassera ensuite $y$ de cette dernière équation par le moyen de l’autre équation $y^{2}+my+n=0,$ et l’on aura l’équation finale $\mathrm {T} =0,$ où $\mathrm {T}$ sera une fonction rationnelle de $t,m$ et $n.$

Je remarque maintenant que puisque les racines de l’équation

$x^{2}+mx+n=0$

sont $x'$ et $x'',$ si l’on désigne par $\mathrm {X} '$ et $\mathrm {X} ''$ les valeurs de $\mathrm {X}$ qui viennent de la substitution de ces racines à la place de $x,$ on aura (par ce qui a été démontré dans le n^o 13 de la Section I)

$\mathrm {Y=X'X''} .$

Et de même, à cause que $x'$ et $x''$ sont aussi les racines de l’équation $y^{2}+my+n=0,$ si l’on désigne par $\mathrm {Y} '$ et $\mathrm {Y} ''$ les valeurs de $\mathrm {Y}$ qui résulteront de la substitution de $x'$ et $x''$ à la place de $y,$ on aura

$\mathrm {T=Y'Y''} .$

Or on a

${\begin{aligned}\mathrm {X} '\ =&t-f\left[(x'\ )(y)\right],\\\mathrm {X} ''\ =&t-f\left[(x'')(y)\right]\,;\end{aligned}}$

donc

$\mathrm {Y} ={\Bigl [}t-f\left[(x')(y)\right]{\Bigr ]}\times {\Bigl [}t-f\left[(x'')(y)\right]{\Bigr ]}.$

et de là

${\begin{aligned}\mathrm {Y} '\ =&{\Bigl [}t-f\left[(x')(x'\ )\right]{\Bigr ]}\times {\Bigl [}t-f\left[(x'')(x'\ )\right]{\Bigr ]},\\\mathrm {Y} ''=&{\Bigl [}t-f\left[(x')(x'')\right]{\Bigr ]}\times {\Bigl [}t-f\left[(x'')(x'')\right]{\Bigr ]},\\\end{aligned}}$