Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/360

mêmes lorsqu’on y fait les mêmes permutations entre les quantités dont elles sont composées, de manière qu’elles puissent être désignées d’une manière analogue. Ainsi prenant les caractéristiques $f$ et $\varphi$ pour désigner des fonctions différentes, les fonctions $f\left[(x)(y)\right]$ et $\varphi \left[(x)(y)\right]$ seront semblables, ainsi que les fonctions $f\left[(x,y)\right],\ \varphi \left[(x,y)\right],$ et ainsi des autres.

89. Nous supposerons, comme dans la Section précédente, que l’équation proposée soit représentée généralement par

$x^{\mu }+mx^{\nu -1}+nx^{\nu -2}+px^{\nu -3}+\ldots =0,$

et que ses racines, qui doivent être au nombre de $\mu ,$ soient désignées par $x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots ,x^{(\mu )}.$

Ainsi l’on aura, par la nature des équations,

${\begin{aligned}-m&=x'+x''+x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots ,\\n&=x'x''+x'x'''+x''x'''+x'x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots ,\\-p&=x'x''x'''+x'x''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x'x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x''x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Et il est clair que ces fonctions de $x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots ,$ par lesquelles sont exprimées les quantités $m,n,p,\ldots ,$ seront nécessairement toutes de la forme $f\left[(x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots )\right],$ et que par conséquent ces fonctions seront toutes semblables, ce qui est une propriété fondamentale des équations.

90. Cela posé, pour commencer par les cas les plus simples, supposons que l’équation proposée ne soit que du second degré, et qu’on demande l’équation par laquelle devra être déterminée la fonction $f\left[(x')(x'')\right].$

Je fais $t=f\left[(x')(x'')\right]$ en sorte que $t$ soit l’inconnue de l’équation cherchée, et comme $x'$ et $x''$ sont déterminées l’une et l’autre par la même équation

$x^{2}+mx+n=0,$

je mets, pour plus de généralité, $x$ à la place de $x'$ et $y$ à la place de $x''\,;$