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À l’égard des équations qui ne passent pas le quatrième degré, les fonctions les plus simples qui donnent leur résolution peuvent être représentées par la formule générale

$x'+yx''+y^{2}x'''+\ldots +y^{\nu -1}x^{(\mu )},$

$x',x'',''',\ldots ,x^{(\mu )}$ étant les racines de l’équation proposée, qu’on suppose être du degré $\mu ,$ et $y$ étant une racine quelconque autre que l’unité de l’équation

$y^{\mu }-1=0,$

c’est-à-dire une racine quelconque de l’équation

$y^{\nu -1}+y^{\nu -2}+y^{\nu -3}+\ldots +1=0,$

comme il résulte de tout ce qu’on a exposé dans les deux premières Sections, touchant la résolution des équations du troisième et du quatrième degré.

Quant à celle des équations du second degré dont nous avons jusqu’à présent fait abstraction, il est visible qu’elle se rapporte aussi au même principe ; car en faisant $\mu =2,$ on aura la fonction $x'+yx''\,;$ et l’équation $y+1=0$ donnant $y=-1,$ cette fonction deviendra $x'-x'',$ c’est-à-dire la différence des deux racines ; or l’art de résoudre les équations du second degré consiste uniquement à faire évanouir le second terme pour avoir une réduite qui, ne contenant que le carré de l’inconnue, soit résoluble par la simple extraction de la racine carrée ; et comme l’évanouissement du second terme dans une équation quelconque exige qu’on diminue les racines du coefficient de ce terme pris avec un signe contraire, et divisé par l’exposant du degré de l’équation, c’est-à-dire de la somme de toutes les racines divisée par le nombre de ces racines, il s’ensuit que la réduite du second degré aura pour racines les différences entre les racines de la proposée, divisées par $2,$ ou bien ces différences mêmes, en supposant qu’on augmente les racines de la réduite dans la raison de $1$ à $2,$ ce qui ne change rien à la nature de cette équation.

Il semble donc qu’on pourrait conclure de là par induction que toute