Or, si l’on suppose que les deux facteurs de l’équation dont il s’agit soient représentés par
il faudra que soit égale à la somme de cinq des dix quantités précédentes, et que soit égale à la somme des cinq autres ; et pour que les coefficients et ne soient affectés que de radicaux du second degré, il faudra que ces deux coefficients soient les racines d’une équation du second degré telle que
et étant des fonctions rationnelles des coefficients de l’équation proposée ; on aura donc
de sorte que tant la somme que le produit des deux quantités et devront être des fonctions rationnelles de et par conséquent des fonctions des racines telles, qu’elles ne changent point de valeur, quelque permutation qu’on fasse entre ces racines ; or cette condition a bien lieu à l’égard de la somme qui est égale à la somme de toutes les dix quantités ci-dessus ; mais il n’en est pas de même à l’égard du produit car on peut s’assurer facilement que, de quelque manière qu’on partage la somme des dix racines précédentes en deux sommes partielles de cinq racines chacune, le produit de ces deux sommes partielles n’aura jamais la propriété de demeurer invariable dans toutes les permutations qu’on pourra faire des racines entre elles.
On pourrait dire qu’il ne serait peut-être pas nécessaire que les deux quantités et fussent les racines d’une même équation du second degré, et que l’une de ces quantités pourrait dépendre d’une équation et l’autre d’une autre ; mais pour détruire cette exception il suffit de considérer que, supposant déterminée par une équation du second degré
