Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/354

on trouvera pour $m'$ une équation du degré

${\frac {(\nu +1)(\nu +2)(\nu +3)\ldots 2\nu }{1.2.3\ldots \nu }},$

ce qui s’accorde avec ce que l’on sait d’ailleurs, puisque ce nombre exprime celui des combinaisons de $2\nu$ choses prises $\nu$ à $\nu .$

Et comme en faisant

$-m'=a+b=-{\frac {m}{2}}+b$

on doit avoir une équation en $b$ qui n’ait que des puissances paires, il s’ensuit que l’équation en $m'$ sera telle que, si l’on y fait disparaître le second terme, tous les termes alternatifs disparaîtront en même temps, comme nous l’avons vu par rapport aux équations du quatrième degré (35).

85. Si l’équation proposée est du sixième degré, en sorte que $\nu =3,$ et qu’on fasse $4b^{2}=\theta ,$ on aura une équation en $\theta$ du degré

${\frac {4.5.6}{2\times 1.2.3}}=10.$

M. Bezout pense que cette équation pourra se décomposer en deux équations, au moyen d’une équation du second degré c’est de quoi je doute fort ; en effet, les racines de l’équation en $\theta$ seront représentées par ces dix quantités, lesquelles renferment toutes les valeurs de $(z'-z'')^{2}$ qui peuvent résulter des permutations entre les six racines $x',x'',x''',\ldots$

${\begin{aligned}&(x'+x''+x'''-x^{\text{ıv}}-x^{\mathrm {v} }-x^{\text{vı}})^{2},\\&\left(x'+x''+x^{\text{ıv}}-x'''-x^{\mathrm {v} }-x^{\text{vı}}\right)^{2},\\&\left(x'+x''+x^{\mathrm {v} }-x^{\text{ıv}}-x'''-x^{\text{vı}}\right)^{2},\\&\left(x'+x''+x^{\text{vı}}-x^{\text{ıv}}-x^{\mathrm {v} }-x'''\right)^{2},\\&\left(x'+x^{\text{ıv}}+x'''-x''-x^{\mathrm {v} }-x^{\text{vı}}\right)^{2},\\&\left(x'+x^{\mathrm {v} }+x'''-x^{\text{ıv}}-x''-x^{\text{vı}}\right)^{2},\\&\left(x'+x^{\text{vı}}+x'''-x^{\text{ıv}}-x^{\mathrm {v} }-x''\right)^{2},\\&\left(x'+x^{\text{ıv}}+x^{\mathrm {v} }-x''-x'''-x^{\text{vı}}\right)^{2},\\&\left(x'+x^{\text{ıv}}+x^{\text{vı}}-x''-x'''-x^{\mathrm {v} }\right)^{2},\\&\left(x'+x^{\mathrm {v} }+x^{\text{vı}}-x''-x'''-x^{\text{ıv}}\right)^{2}.\end{aligned}}$