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coefficients devra être déterminé par une équation particulière du degré

${\frac {1.2.3\ldots \mu }{1.2.3\ldots \varpi (1.2.3\ldots \nu )^{\varpi }}}.$

84. Supposons que l’équation proposée soit d’un degré pair, et prenons $\varpi =2,$ en sorte que l’on ait $\mu =2\nu \,;$ dans ce cas l’équation $y^{\varpi }-1=0$ deviendra

$y^{2}-1=0,$

laquelle donne les deux racines

$y=1\quad {\text{et}}\quad y=-1\,;$

et il faudra, suivant la méthode précédente, que l’équation proposée

$x^{2\nu }+mx^{2\nu -1}+nx^{2\nu -2}+px^{2\nu -3}+\ldots =0$

soit formée du produit de ces deux-ci

${\begin{aligned}&x^{\nu }-(a+b)x^{\nu -1}+(a'+b')x^{\nu -2}-(a''+b'')x^{\nu -3}+\ldots =0,\\&x^{\nu }-(a-b)x^{\nu -1}+(a'-b')x^{\nu -2}-(a''-b'')x^{\nu -3}+\ldots =0.\end{aligned}}$

Ainsi l’on aura

$a=-{\frac {m}{2}}\quad {\text{et}}\quad b={\frac {z'-z''}{2}},$

où

${\begin{aligned}z'\ &=x'\,+x'''+x^{\mathrm {v} }\ +\ldots +x^{(2\nu -1)},\\z''&=x''+x^{\text{ıv}}+x^{\text{vı}}+\ldots +x^{(2\nu )}.\end{aligned}}$

Et l’on trouvera que l’équation en $b$ sera du degré

${\frac {1.2.3\ldots 2\nu }{(1.2.3\ldots \nu )^{2}}},\quad {\text{c’est-à-dire}}\quad {\frac {(\nu +1)(\nu +2)(\nu +3)\ldots 2\nu }{1.2.3\ldots \nu }},$

avec tous les exposants pairs.

Donc, si l’on suppose que l’équation proposée ait un diviseur du degré $\nu$ et tel que

$x^{\nu }+m'x^{\nu -1}+n'x^{\nu -2}+p'x^{\nu -3}+\ldots =0,$