présenté par le produit
des deux nombre
et
on prendra deux équations de cette forme
![{\displaystyle (l)\left\{{\begin{aligned}x^{\nu }&-\left(a\ \ +by\ \ +cy^{2}\,\ +dy^{3}\ \ +\ldots +ky^{\varpi -1}\ \ \right)x^{\nu -1}\\&+\left(a'\ +b'y\ +c'y^{2}+d'y^{3}\ +\ldots +k'y^{\varpi -1}\ \right)x^{\nu -2}\\&-\left(a''+b''y+c''y^{2}+d''y^{3}+\ldots +k''y^{\varpi -1}\right)x^{\nu -3}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&\pm \left[a^{\nu -1}+b^{\nu -1}y+c^{\nu -1}y^{2}+d^{\nu -1}y^{3}+\ldots +k^{\nu -1}y^{\varpi -1}\right]=0,\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6df2adf5130da1c12f23d21e19db4db352e13fdf)
![{\displaystyle y^{\varpi }-1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/261399743cd1de94b6c39e42f9524aa424087a12)
Et éliminant
on aura une équation finale en
du degré yts qu’on comparera terme à terme avec la proposée ; ce qui donnera équations particulières entre les coefficients
dont le nombre est aussi
de sorte qu’on pourra par là déterminer chacun de ces coefficients.
Or, comme l’équation
donne
valeurs de
on aura, par la substitution successive de ces valeurs, autant d’équations en
chacune du degré
d’où l’on tirera
valeurs de
qui seront les racines de l’équation proposée.
Il est clair, par la théorie de l’élimination exposée dans le no 13, que l’équation résultante de l’élimination de
dans les deux équations ci-dessus ne sera autre chose que le produit de toutes les équations
que l’on aurait en y mettant à la place de
les racines de l’équation
d’où l’on voit que l’esprit de cette méthode consiste à décomposer l’équation proposée du degré en équations, chacune du
ième degré, et cela moyennant une équation du degré
de la forme
Toute la difficulté consiste dans la détermination des coefficients inconnus
c’est pourquoi il est bon de rechercher à priori quelle doit être la nature des équations par lesquelles ces quantités doivent se déterminer.
81. Supposons donc que l’équation proposée du degré
et