Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/347

de $t$ ne sera que ${\frac {1.2.3\ldots \mu }{(1.2.3\ldots \nu )^{\varpi }}}\,;$ de sorte que l’équation en $t$ ne montera qu’au degré ${\frac {1.2.3\ldots \mu }{(1.2.3\ldots \nu )^{\varpi }}}.$

78. Cela posé, si l’on compare maintenant l’expression précédente de $t$ avec celle du n^o  69, on verra aisément qu’elle est susceptible de remarques semblables, relativementaux permutations des quantités $z',z'',z''',\ldots$ entre elles ; d’où l’on conclura :

1^o Qu’en supposant $\varpi$ égal à un nombre premier, l’équation en $t$ ne renfermera que des puissances de $t$ dont les exposants soient multiples de $\varpi \,;$ de sorte qu’en faisant $t^{\varpi }=\theta ,$ on aura une équation en $\theta$ du degré ${\frac {1.2.3\ldots \mu }{\varpi (1.2.3\ldots \nu )^{\varpi }}}\,;$

2^o Que cette équation sera toujours décomposable en ${\frac {1.2.3\ldots \mu }{(\varpi -1)\varpi (1.2.3\ldots \nu )^{\varpi }}}$ équations de la forme

$\theta ^{\varpi -1}-\mathrm {T\theta ^{\varpi -2}+U\theta ^{\varpi -3}-X} \theta ^{\varpi -4}+\ldots =0,$

où les coefficients $\mathrm {T,U} ,\ldots$ ne dépendront que d’une équation du degré ${\frac {1.2.3\ldots \mu }{(\varpi -1)\varpi (1.2.3\ldots \nu )^{\varpi }}}\,;$

3^o Que, si l’on désigne par $\theta ',\theta '',\theta ''',\ldots$ les $\varpi -1$ racines de l’équation précédente, les quantités

${\frac {\sqrt[{\mu }]{\theta '}}{\mu }},\quad {\frac {\sqrt[{\mu }]{\theta ''}}{\mu }},\quad {\frac {\sqrt[{\mu }]{\theta '''}}{\mu }},\ldots ,\quad {\frac {\sqrt[{\mu }]{\theta ^{(\varpi -1)}}}{\mu }}$

seront les valeurs de ceux des coefficients $k,h,g,\ldots ,c,b$ qui occupent dans cette série les places $\nu$^ième, $(2\nu )$^ième, $(3\nu )$^ième, … jusqu’à la $(\mu -\nu )$^ième inclusivement, ou, ce qui revient au même (à cause que le nombre de tous les coefficients $a,b,c,\ldots ,k$ est $\mu$), des coefficients qui occupent les mêmes places dans la série $a,b,c,\ldots ,k\,;$

4^o Que, pour trouver les valeurs des coefficients $\mathrm {T,U,X} ,\ldots ,$ on pourra se servir pareillement des méthodes des n^os 71 et 72, en ayant seulement attention de mettre partout l’exposant $\varpi$ à la place de l’exposant $\mu \,;$