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$y^{\mu }-1=0,$ les puissances $1,\omega ,\omega ^{2},\omega ^{3},\ldots ,\omega ^{\varpi -1}$ seront les racines de l’équation $y^{\varpi }-1=0$ (24).

Faisant donc rentrer les puissances de $\omega$ plus hautes que $\omega ^{\varpi -1}$ dans la classe des inférieures, l’expression de $t$ deviendra de cette forme

$t=z'+\omega z''+\omega ^{2}z'''+\omega ^{3}z^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots +\omega ^{\varpi -1}z^{(\varpi )},$

en supposant

${\begin{aligned}z'\ \ &=x'\,\ +x^{(\varpi +1)}+x^{(2\varpi +1)}+\ldots +x^{(\mu -\varpi +1)},\\z''\ &=x''\ +x^{(\varpi +2)}+x^{(2\varpi +2)}+\ldots +x^{(\mu -\varpi +2)},\\z'''&=x'''+x^{(\varpi +3)}+x^{(2\varpi +3)}+\ldots +x^{(\mu -\varpi +3)},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\z^{(\varpi )}&=x^{(\varpi )}+x^{(2\varpi )}+x^{(3\varpi )}+\ldots +x^{(\mu )}.\end{aligned}}$

77. En considérant maintenant l’équation en $t$ dans toute sa généralité, il est clair qu’elle devrait être du degré $1.2.3\ldots \mu ,$ puisqu’il y a autant de permutations possibles entre les $\mu$ racines $x',x'',x''',\ldots ,$ et dont chacune doit donner une valeur particulière de $t\,;$ mais si parmi ces valeurs il y en a d’égales, on pourra en faire abstraction et abaisser par là l’équation en $t$ à un moindre degré ; or c’est précisément ce qui a lieu dans le cas présent.

En effet, il est visible que la quantité $z'$ demeurera toujours la même, quelque permutation qu’on fasse entre les racines $x',x^{(\varpi +1)},x^{(2\varpi +1)},\ldots \,;$ donc, puisque $\nu$ choses admettent $1.2.3\ldots \nu$ permutations, il s’ensuit d’abord que les $1.2.3\ldots \mu$ valeurs de $t$ seront telles que chacune se trouvera répétée $1.2.3\ldots \nu$ fois ; en sorte que parmi ces valeurs il ne pourra y en avoir que ${\frac {1.2.3\ldots \mu }{1.2.3\ldots \nu }}$ de différentes entre elles.

Considérons ensuite la quantité $z'',$ on prouvera de la même manière que chacune de ces dernières valeurs devra aussi se trouver répétée $1.2.3\ldots \nu$ fois, ce qui réduira le nombre des valeurs différentes de $t$ à ${\frac {1.2.3\ldots \mu }{(1.2.3\ldots \nu )^{2}}}.$

En continuant le même raisonnement à l’égard des autres quantités $z''',$$z^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots ,z^{(\varpi )},$ on en conclura enfin que le nombre des valeurs différentes