les formules connues
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {T} =\lambda \xi \,+\mathrm {S'\xi '\ +S''\xi ''+S'''} \xi '''+\,&\ldots ,\\\mathrm {U} ={\frac {1}{2}}\mathrm {T\left(\lambda \xi +S'\xi '\,+S''\xi ''+\ldots \right)} &-{\frac {1}{2}}\mathrm {\left(\lambda \xi _{2}+S'\xi '_{2}\,+S''\xi ''_{2}+\ldots \right)} ,\\\mathrm {X} ={\frac {1}{3}}\mathrm {U\left(\lambda \xi +S'\xi '\,+S''\xi ''+\ldots \right)} &-{\frac {1}{3}}\mathrm {T} \mathrm {\left(\lambda \xi _{2}+S'\xi '_{2}\,+S''\xi ''_{2}+\ldots \right)} ,\\&+{\frac {1}{3}}\mathrm {\left(\lambda \xi _{3}+S'\xi '_{3}\,+S''\xi ''_{3}+\ldots \right)} ,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64c31ade714c318aadd366b6f3c0d44b05d5b441)
76. Pour trouver maintenant les valeurs des autres coefficients qui, dans la série
occupent des places marquées par des nombres commensurables à
supposons, en général,
et que l’on cherche ceux des coefficients dont il s’agit dont l’exposant du rang sera multiple de
il est facile de voir par ce qui a été dit dans le no 68, que si l’on exprime, pour plus de simplicité, ces coefficients par
![{\displaystyle {\frac {a^{(\nu )}}{\mu }},\quad {\frac {a^{(2\nu )}}{\mu }},\quad {\frac {a^{(3\nu )}}{\mu }},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc82ac1618823eca19bebc6b64bd847dfe50f291)
et qu’on fasse
on aura
![{\displaystyle a^{(\nu )}=x'+\omega x''+\omega ^{2}x'''+\omega ^{3}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots +\omega ^{\mu -1}x^{(\mu )}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baffaa5f2473486c4c90a60441e2fdefa49b019c)
et, pour avoir les autres quantités
il n’y aura qu’à changer successivement
en ![{\displaystyle \omega ^{2},\omega ^{3},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d2e462df26e1bc35a10f3fd4e6c8ca8dd716bca)
Soit, à l’imitation de ce qui a été fait dans le no 69,
![{\displaystyle t=x'+\omega x''+\omega ^{2}x'''+\omega ^{3}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots +\omega ^{\mu -1}x^{(\mu )},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41ba7b126d034e5ff0445ff4da73cde7008e3996)
et cherchons de même quelle doit être la nature de l’équation en ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Pour cet effet on remarquera d’abord que, puisque
on aura
![{\displaystyle \omega ^{\varpi }=\alpha ^{\varpi \nu }=\alpha ^{\mu }=1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa78e1c7337dbcc11b0cc1dcecaefee72db375ee)
et de là
![{\displaystyle \omega ^{\varpi +1}=\omega ,\quad \omega ^{\varpi +2}=\omega ^{2},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5358e86eb704b0ee5bde90192123576b6845e82c)
En général, puisque
sont les racines de l’équation