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donc les cinq premiers membres de la valeur de $\mathrm {A}$ deviendront

$4n\left(x'^{3}+x''^{3}+x'''^{3}+x^{{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}3}+x^{{\scriptscriptstyle {\text{V}}}3}\right)$

$+4m\left(x'^{4}+x''^{4}+x'''^{4}+x^{{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}4}+x^{{\scriptscriptstyle {\text{V}}}4}\right)+4\left(x'^{5}+x''^{5}+x'''^{5}+x^{{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}5}+x^{{\scriptscriptstyle {\text{V}}}5}\right)$

${\begin{aligned}=&4n\left(-m^{3}+3mn-3p\right)+4m\left(m^{4}-4m^{2}n+4mp-4q+2n^{2}\right)\\&+4\left[-m^{5}+5m^{3}n-5m^{2}p+5m\left(q-n^{2}\right)-5r+5np\right].\end{aligned}}$

Pour trouver la valeur des cinq derniers membres de la quantité $\mathrm {A} ,$ il faudra commencer par chercher celle de la quantité

${\begin{alignedat}{3}&\left(x'x''\right)^{2}&+\left(x'x'''\right)^{2}+&\left(x'x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)^{2}\ \,+&\left(x'x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\right)^{2}+&\left(x''x'''\right)^{2}\\+&\left(x''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)^{2}&+\left(x''x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\right)^{2}+&\left(x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)^{2}+&\left(x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\right)^{2}+&\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\right)^{2},\end{alignedat}}$

que nous désignerons, pour abréger, par $l\,;$ or, si l’on carre la valeur de $n,$ on aura

${\begin{aligned}n^{2}=l&+2n\ \left(x'^{2}+x''^{2}+x'''^{2}+x^{{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}2}+x^{{\scriptscriptstyle {\text{V}}}2}\right)\\&+2m\left(x'^{3}+x''^{3}+x'''^{3}+x^{{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}3}+x^{{\scriptscriptstyle {\text{V}}}3}\right)\\&+\ \,2\ \ \left(x'^{4}+x''^{4}+x'''^{4}+x^{{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}4}+x^{{\scriptscriptstyle {\text{V}}}4}\right)\\\\=l&+2n\ \left(m^{2}-2n\right)+2m\left(-m^{3}+3mn-3p\right)\\&+\ 2\ \left(m^{4}-4m^{2}n+4mp-4q+2n^{2}\right),\end{aligned}}$

d’où

${\begin{aligned}l=&n^{2}-2n\left(m^{2}-2n\right)-2m\left(-m^{3}+3mn-3p\right)\\&-2\left(m^{4}-4m^{2}n+4mp-4q+2n^{2}\right)\,;\end{aligned}}$

maintenant il est facile de trouver que la valeur des cinq derniers membres de $\mathrm {A}$ sera exprimée par

$6l\left(x'+x''+x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\right)$

$-6\left(m^{2}-m\right)\left(x'^{3}+x''^{3}+x'''^{3}+x^{{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}3}+x^{{\scriptscriptstyle {\text{V}}}3}\right)+6\left(x'^{5}+x''^{5}+x'''^{5}+x^{{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}5}+x^{{\scriptscriptstyle {\text{V}}}5}\right)$

${\begin{aligned}=&-6lm-6\left(m^{2}-m\right)\left(-m^{3}+3mn-3p\right)\\&+6\left[-m^{5}+5m^{3}n-5m^{2}p+5m\left(q-n^{2}\right)-5r+5np\right]\,;\end{aligned}}$