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en la comparant avec l’équation (H) du n^o 16, on aura

$\varphi (x)=\beta x^{p}+\gamma x^{p+q}+\delta x^{p+2q}+\varepsilon x^{p+3q}+\ldots \,;$

donc

${\frac {\varphi (\alpha y)}{\alpha }}=\beta \alpha ^{p-1}y^{p}+\gamma \alpha ^{p+q-1}y^{p+q}+\delta \alpha ^{p+2q-1}y^{p+2q}+\ldots$

et

${\frac {1}{1-z{\cfrac {\varphi (\alpha y)}{\alpha }}}}={\frac {1}{1-\beta \alpha ^{p-1}y^{p}z-\gamma \alpha ^{p+q-1}y^{p+q}z-\ldots }}.$

Faisons, pour plus de simplicité,

$\alpha ^{p-q-1}y^{p-q}z=u,$

et l’on aura la fraction

${\frac {1}{1-\beta u(\alpha y)^{q}-\gamma u(\alpha y)^{2q}-\delta u(\alpha y)^{3q}-\ldots }},$

laquelle, étant développée suivant les puissances de $\alpha y,$ deviendra

$1-\mathrm {P} (\alpha y)^{q}+\mathrm {Q} (\alpha y)^{2q}+\mathrm {R} (\alpha y)^{3q}+\mathrm {S} (\alpha y)^{4q}+\ldots ,$

où l’on aura

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&\beta u,\\\mathrm {Q} =&\mathrm {P} \beta u+\gamma u,\\\mathrm {R} =&\mathrm {Q} \beta u+\mathrm {P} \gamma u+\delta u,\\\mathrm {S} =&\mathrm {R} \beta u+\mathrm {Q} \gamma u+\mathrm {P} \delta u+\varepsilon u,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et, développant de nouveau ces valeurs suivant les puissances de $u,$

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&\mathrm {A} u,\\\mathrm {Q} =&\mathrm {B} u+\mathrm {B} _{1}u^{2},\\\mathrm {R} =&\mathrm {C} u+\mathrm {C} _{1}u^{2}+\mathrm {C} _{2}u^{3},\\\mathrm {S} =&\mathrm {D} u+\mathrm {D} _{1}u^{2}+\mathrm {D} _{2}u^{3}+\mathrm {D} _{3}u^{4},\\\mathrm {T} =&\mathrm {E} u+\mathrm {E} _{1}u^{2}+\mathrm {E} _{2}u^{3}+\mathrm {E} _{3}u^{4}+\mathrm {E} _{4}u^{5},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$