des puissances premières, secondes, troisièmes, etc., jusqu’aux
ième, des racines
et pour cela il sera utile de faire entrer dans le calcul la quantité
![{\displaystyle \theta ^{0}=\xi +\xi '+\xi ''+\xi '''+\ldots +\xi ^{(\mu -1)}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7283e9a4cea7b467ae2529a839739ce1df2f2ef9)
en sorte que les quantités
répondent aux racines
de l’équation ![{\displaystyle y^{\mu }-1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81d793ce23a233732ddde083b6d1bda1231e9a67)
Or, si l’on élève successivement le polynôme
![{\displaystyle \xi +\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi '''+\ldots +\alpha ^{\mu -1}\xi ^{(\mu -1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b11abaa719d2d4d07cd50e4d6a98ec5d575a556)
aux puissances seconde, troisième, etc., et qu’on dénote par ![{\displaystyle \xi _{2},\xi _{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ddc5918aaeb72501de0b473526e0f7bec494a07)
les termes de ces puissances qui ne seront point affectés de
après avoir substitué partout
à la place de
à la place de
et ainsi de suite ; il est facile de voir, par les propriétés des quantités
(67), que les sommes des puissances premières, secondes, troisièmes, etc., des quantités
se réduiront à ![{\displaystyle \mu \xi ,\mu \xi _{2},\mu \xi _{3},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/930312a8354ab48165645929ec6e07723afc86f6)
Or
![{\displaystyle {\begin{aligned}\theta ^{0}=\xi +\xi '+\xi ''+\xi '''+\ldots +\xi ^{(\mu -1)}&=\left[x'+x''+x'''+\ldots +x^{(\mu -1)}\right]^{\mu }\\&=(-m)^{\mu }\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7062a1267674083a1dc3b8bd83ab40f83fcfa1a)
donc, si l’on retranche respectivement des quantités
les puissances première, seconde, troisième, etc., de
les restes
![{\displaystyle \mu \xi -(-m)^{\mu },\quad \mu \xi _{2}-(-m)^{2\mu },\quad \mu \xi _{3}-(-m)^{3\mu },\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b332c6c4715f9909be42cfb8c6ecc5fb2c6c97d)
seront les sommes des
racines
de leurs carrés, de leurs cubes, etc., de sorte qu’on aura, par les formules connues,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {T} =&\mu \xi -(-m)^{\mu },\\\mathrm {U} =&{\frac {\mathrm {T} \left[\mu \xi -(-m)^{\mu }\right]}{2}}-{\frac {\mu \xi _{2}-(-m)^{2\mu }}{2}},\\\mathrm {X} =&{\frac {\mathrm {U} \left[\mu \xi -(-m)^{\mu }\right]}{3}}-{\frac {\mathrm {T} \left[(\mu \xi _{2}-(-m)^{2\mu }\right]}{3}}+{\frac {\mu \xi _{3}-(-m)^{3\mu }}{3}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfbd37739fd4c03299f52036585bae6f7e746155)
73. Maintenant, si l’on fait dans les expressions des quantités
toutes les permutations possibles entre les racines