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tion exprimeront justement les valeurs des quantités $a',a'',a''',\ldots$ élevées à la puissance $\mu .$

Donc, si l’on dénote ces racines par $\theta ',\theta '',\theta ''',\ldots ,\theta ^{(\mu -1)},$ on aura

$b={\frac {\sqrt[{\mu }]{\theta '}}{\mu }},\quad c={\frac {\sqrt[{\mu }]{\theta ''}}{\mu }},\quad d={\frac {\sqrt[{\mu }]{\theta '''}}{\mu }},\ldots$

Maintenant, pour trouver avec facilité l’équation dont il s’agit, on élèvera le polynôme

$x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''+\alpha ^{3}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots$

à la puissance $\mu ,$ et, faisant attention que $\alpha ^{\mu }=1,\ \alpha ^{\mu -1}=\alpha ,\ldots ,$ on aura pour $\theta$ une expression de cette forme

$\theta =\xi +\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi '''+\ldots +\alpha ^{\mu -1}\xi ^{(\mu -1)},$

où $\xi ,\xi ',\xi '',\ldots$ seront des fonctions des racines $x',x'',x''',\ldots$ sans $\alpha \,;$ on changera $\alpha$ en $y$ et ensuite on éliminera $y$ par le moyen de l’équation $(g)$ du n^o 57 ; mais, si l’on ne veut pas employer la voie ordinaire de l’élimination, on s’y prendra de la manière suivante.

72. Puisque $\beta =\alpha ^{2},\ \gamma =\alpha ^{3},\ldots$ (68), on aura

${\begin{aligned}\theta '\ \ &=\xi +\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi '''+\ldots +\alpha ^{\mu -1}\xi ^{(\mu -1)},\\\theta ''\ &=\xi +\beta \xi '\,+\beta ^{2}\xi ''\,+\beta ^{3}\xi '''+\ldots +\beta ^{\mu -1}\xi ^{(\mu -1)},\\\theta '''&=\xi +\gamma \xi '\,+\gamma ^{2}\xi ''\,+\gamma ^{3}\xi '''+\ldots +\gamma ^{\mu -1}\xi ^{(\mu -1)},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

$\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ étant avec $1$ les racines de l’équation $y^{\mu }-1=0.$

Connaissant donc ainsi les racines de l’équation en $\theta ,$ on pourra déterminer par leur moyen les valeurs des coefficients $\mathrm {T,U,X} ,\ldots \,;$ car on aura, comme on sait,

${\begin{aligned}\mathrm {T} &=\theta '+\theta ''+\theta '''+\ldots ,\\\mathrm {U} &=\theta '\theta ''+\theta '\theta '''+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

On facilitera beaucoup cette détermination si l’on cherche la somme