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Cette détermination n’a aucune difficulté ; car puisque $1,\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ sont les racines de l’équation $y^{\mu }-1=0,$ laquelle manque de tous ses termes intermédiaires, on aura, comme on sait,

${\begin{aligned}1\,+\alpha \ \,+\beta \ \,+\gamma \ \,+\ldots &=0,\\1+\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\ldots &=0,\\1+\alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}+\ldots &=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{aligned}}$

c’est-à-dire que la somme de toutes les racines élevées chacune à une même puissance quelconque sera toujours nulle lorsque l’exposant de la puissance ne sera pas divisible par $\mu \,;$ et à l’égard des puissances dont l’exposant sera multiple de $\mu ,$ il est visible, par l’équation même $y^{\mu }-1=0,$ qu’on aura $\alpha ^{\mu }=1,\ \alpha ^{2\mu }=1,\ldots ,$ et ainsi des autres racines.

Donc, si l’on ajoute ensemble les $\mu$ équations du numéro précédent, après les avoir multipliées respectivement par les $\mu$ racines correspondantes $1,\alpha ,\beta ,\ldots$ élevées successivement aux puissances $\mu$^ième, $(\mu -1)$^ième, $(\mu -2)$^ième, …, jusqu’à la première inclusivement, on aura sur-le-champ

${\begin{aligned}\mu a\quad \ \ &=x'+x''+x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots ,\\\mu ub\quad &=x'+\alpha ^{\mu -1}x''+\beta ^{\mu -1}x'''+\gamma ^{\mu -1}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots ,\\\mu u^{2}c\ \ &=x'+\alpha ^{\mu -2}x''+\beta ^{\mu -2}x'''+\gamma ^{\mu -2}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots ,\\\mu u^{3}d\ \ &=x'+\alpha ^{\mu -3}x''+\beta ^{\mu -3}x'''+\gamma ^{\mu -3}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots ,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

On voit d’abord que la quantité $a$ doit être donnée par une équation linéaire, puisqu’elle conserve la même valeur, quelque permutation qu’on fasse entre les racines $x',x'',\ldots \,;$ en effet, à cause de

$x'+x''+x'''+\ldots =-m,$

on aura $a=-{\frac {m}{\mu }}.$

Quant aux autres quantités $ub,u^{2}c,u^{3}d,\ldots ,$ chacune d’elles dépendra, en général, d’une équation d’un degré égal au nombre de toutes les permutations possibles entre les $\mu$ racines $x',x'',x''',\ldots$ nombre qui est, comme on sait, marqué par $1.2.3\ldots \mu \,;$ car à chacune de ces permuta-