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pour coefficient une quantité de la forme

$\alpha a^{2}+\beta ab+\gamma b^{2}+\delta ac+\ldots ,$

et ainsi des autres.

Égalant donc le coefficient du second terme à $m,$ celui du troisième terme à $n,$ et ainsi de suite, on aura $\mu$ équations entre les $\mu$ inconnues $a,b,c,\ldots ,k,$ dont la première sera du premier degré seulement, la seconde, du second degré, la troisième, du troisième, et ainsi des autres ; de sorte qu’en éliminant ces inconnues à l’exception d’une seule quelconque, on aura, en général, pour la détermination de celle-ci une équation finale du degré marqué par $1.2.3\ldots \mu \,;$ ce qui est contraire au sentiment de M. Euler, mais ce qui s’accorde avec ce que M. Bezout a trouvé par induction.

67. Pour confirmer davantage cette conclusion sur le degré des équations en $a,$ ou $b,$ ou $c,\ldots ,$ et pour voir en même temps dans quel cas ces équations sont susceptibles de simplification, nous allons chercher à priori l’expression des quantités $a,b,c,\ldots$ en $x',x'',x''',\ldots ,$ racines de la proposée.

Faisons, comme dans le n^o 54, ${\sqrt[{\mu }]{-\mathrm {V} }}=u,$ et désignant par $1,\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ les $\mu$ racines de l’équation

$y^{\mu }-1=0,$

on aura $u,\alpha u,\beta u,\gamma u,\ldots$ pour les $\mu$ racines de l’équation

$y^{\mu }+\mathrm {V} =0\,;$

donc, substituant successivement ces racines dans l’équation $(k)$ du n^o 65 à la place de $y,$ et mettant en même temps les racines $x',x'',x''',\ldots$ à la place de $x,$ on aura les $\mu$ équations suivantes

${\begin{aligned}x'\ \ &=a+bu+cu^{2}+du^{3}+\ldots +ku^{\mu -1},\\x''\ &=a+\alpha bu+\alpha ^{2}cu^{2}+\alpha ^{3}du^{3}+\ldots +\alpha ^{\mu -1}ku^{\mu -1},\\x'''&=a+\beta bu+\beta ^{2}cu^{2}\,+\beta ^{3}du^{3}\,+\ldots +\beta ^{\mu -1}ku^{\mu -1},\\x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&=a+\gamma bu\,+\gamma ^{2}cu^{2}\,+\gamma ^{3}du^{3}+\ldots +\gamma ^{\mu -1}ku^{\mu -1},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

par lesquelles on pourra déterminer les $\mu$ racines inconnues $a,b,c,\ldots .$