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comme la résultante de l’élimination de $y,$ faite par le moyen de l’équation $(c)$

$y^{\mu }+\mathrm {A} y^{\mu -1}+\mathrm {B} y^{\mu -2}+\ldots +\mathrm {V} =0,$

et de l’équation $(k)$. On supposera donc les coefficients $a,b,c,\ldots ,k,$ dont le nombre est $\mu ,$ indéterminés, et l’équation provenante de l’élimination de $y$ étant comparée terme à terme avec la proposée donnera $\mu$ conditions qui serviront à déterminer les quantités $a,b,c,\ldots .$

Si l’on réduit l’équation en $y$ à deux termes tels que

$y^{\mu }+\mathrm {V} =0,$

la méthode précédente reviendra à celle de MM. Euler et Bezout, dont nous avons déjà fait mention plusieurs fois dans le cours de ce Mémoire.

Le détail où nous venons d’entrer sert à rapprocher cette méthode de celle de M. Tschirnaus, et à montrer leur analogie et dépendance mutuelle.

66. Comme tout se réduit à déterminer les inconnues $a,b,c,\ldots ,k$ dont le nombre est $\mu ,$ par la comparaison des termes de la proposée avec ceux de la résultante de l’élimination de $y,$ nous remarquerons d’abord à l’égard de cette dernière, qu’elle sera nécessairement exprimée par une fonction rationnelle et entière des quantités $a,b,c,\ldots ,k$ et $x,$ où ces quantités rempliront partout le même nombre de dimensions $\mu ,$ comme on peut aisément le conclure de la théorie d’élimination donnée dans le n^o 13 ; d’où il s’ensuit qu’en ordonnant cette équation par rapport à $x$ les coefficients de tous ces termes se trouveront être des fonctions rationnelles, entières et homogènes des quantités $a,b,c,\ldots ,k,$ et dont les dimensions seront $0,1,2,3,\ldots$ pour les puissances $x^{\mu },x^{\mu -1},$$x^{\mu -2},\ldots .$

Ainsi le premier terme $x^{\mu }$ n’aura d’autre coefficient que l’unité, le second terme $x^{\mu -1}$ aura pour coefficient une quantité de la forme

$\alpha a+\beta b+\gamma c+\ldots ,$

$\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ étant des coefficients numériques, le troisième terme $x^{\mu -2}$ aura