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On supposera

$z=\mathrm {L} +\mathrm {M} y+\mathrm {N} y^{2}+\ldots +\mathrm {R} y^{\lambda },$

et comme $y$ est déterminé par l’équation

$y^{\mu }+\mathrm {A} y^{\mu -1}+\mathrm {B} y^{\mu -2}+\ldots =0,$

on éliminera $y$ par le moyen de cette équation, ce qui donnera une équation en $z$ du degré $\mu$ qu’on pourra représenter ainsi

$z^{\mu }+\alpha z^{\mu -1}+\beta z^{\mu -2}+\gamma z^{\mu -3}+\ldots -\omega =0,$

où les coefficients $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,\omega$ seront par conséquent des fonctions connues des $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ et $\mathrm {L,M,N} ,\ldots .$

Ainsi l’on aura

$z\left(z^{\mu -1}+\alpha z^{\mu -2}+\beta z^{\mu -3}+\ldots \right)=\omega ,$

d’où l’on voit que la quantité $z$ deviendra égale à $\omega ,$ et par conséquent indépendante de $y,$ étant multipliée par le polynôme

$z^{\mu -1}+\alpha z^{\mu -2}+\beta z^{\mu -3}+\ldots .$

De sorte que si l’on remet dans ce polynôme, à la place de $z,$ sa valeur en $y,$ on aura le polynôme cherché, dans lequel on pourra, si l’on veut, n’admettre que des puissances de $y$ moindres que $y^{\mu },$ parce qu’au moyen de l’équation

$y^{\mu }+\mathrm {A} y^{\mu -1}+\ldots =0$

on pourra toujours faire rentrer les puissances de $y$ supérieures à $y^{\mu }$ dans la classe des inférieures.

De cette manière on pourra donc ramener l’équation $(d)$ à la forme

$(k)\quad \qquad \qquad \qquad x=a+by+cy^{2}+\ldots +ky^{\mu -1},$

de sorte qu’on pourra toujours regarder l’équation proposée $(a)$

$x^{\mu }+mx^{\mu -1}+nx^{\mu -2}+\ldots =0,$