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un nombre premier, il est facile de prouver par des raisonnements analogues à celui du n^o 56, que l’on pourra suppléer aux permutations des racines $x',$$x^{(\varpi +1)},x^{(2\varpi +1)},\ldots$ en $x'',x^{(\varpi +2)},x^{(2\varpi +2)},\ldots$ en $x''',x^{(\varpi +3)},$$x^{(2\varpi +3)},\ldots$ en, etc., en substituant successivement dans l’expression de $f$ les puissances $\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots ,\alpha ^{\varpi -1}$ à la place de $\alpha \,;$ de sorte que si l’on met $y$ au lieu de $\alpha$ dans l’expression de $f,$ et qu’ensuite on élimine $y$ par le moyen de l’équation

${\frac {y^{\varpi }-1}{y-1}}=0,$

ou bien

$y^{\varpi -1}+y^{\varpi -2}+y^{\varpi -3}+\ldots +1=0,$

on aura une équation en $f$ telle que

$f^{\varpi -1}+\mathrm {F} f^{\varpi -2}+\mathrm {G} f^{\varpi -3}+\ldots =0,$

laquelle sera un diviseur de la réduite en $f\,;$ et les coefficients $\mathrm {F,G} ,\ldots$ seront déterminés chacun par une équation du degré

${\frac {\nu (\nu +1)(\nu +2)\ldots (\mu -1)}{(\varpi -1)\varpi ^{\nu -1}}}\,;$

ce qui donnera autant de diviseurs de la même réduite, dont chacun sera du degré $\varpi -1.$

Si $\nu$ n’est pas un nombre premier, alors il faudra chercher, comme dans le n^o 60, l’équation dont les racines seront les puissances de $\alpha$ qui auront pour exposant des nombres premiers à $\nu$ en y comprenant l’unité, et, désignant cette équation par

$y^{\lambda }+\beta y^{\lambda -1}+\ldots +\beta y+1=0,$

on éliminera, par son moyen, $y$ de l’expression de $f\,;$ on aura une équation en $f$ telle que

$f^{\lambda }+\mathrm {F} \beta f^{\lambda -1}+\mathrm {G} f^{\lambda -2}+\ldots =0,$

où chaque coefficient $\mathrm {F,G} ,\ldots$ ne dépendra que d’une équation du degré

${\frac {\nu (\nu +1)(\nu +2)\ldots (\mu -1)}{\lambda \varpi ^{\nu -1}}}\,;$

de sorte que l’on aura par là autant de valeurs de $\mathrm {F,G} ,\ldots$ et par consé-