Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/325

Donc le nombre des valeurs différentes de $f$ ne pourra être plus grand que

${\frac {1.2.3\ldots \mu }{1.2.3\ldots \nu }}.\mathrm {\ divis{\acute {e}}\ par\ } \varpi$

On tirera des conclusions semblables de la considération des $\varpi$ racines $x^{(\varpi +1)},x^{(\varpi +2)},x^{(\varpi +3)},\ldots ,x^{(2\varpi )},$ comme aussi des racines $x^{(2\varpi +1)},x^{(2\varpi +2)},x^{(2\varpi +3)},\ldots ,x^{(3\varpi )},$ et ainsi des autres ; et comme les combinaisons de ces racines entre elles sont totalement indépendantes, il s’ensuit qu’il faudra diviser le nombre ${\frac {1.2.3\ldots \mu }{1.2.3\ldots \nu }}$ autant de fois par $\varpi$ qu’il y a de ces systèmes de $\varpi$ racines chacun, c’est-à-dire $\nu$ fois, nombre des quantités $\zeta ',\zeta '',\ldots ,\zeta ^{(\nu )}.$

Donc le nbmbre des valeurs différentes de $f$ ne pourra être que

${\frac {1.2.3\ldots \mu }{1.2.3\ldots \nu \varpi ^{\nu }}}\,;$

par conséquent l’équation en $f$ ne devra monter qu’au degré marqué par ce même nombre.

C’est aussi ce qui s’accorde avec ce que l’on a trouvé à la fin du n^o  52 ; en effet, il est clair que le nombre

${\frac {1.2.3\ldots \mu }{1.2.3\ldots \nu \varpi ^{\nu }}}\,;$

se réduit d’abord à celui-ci

${\frac {\nu (\nu +1)(\nu +2)\ldots \mu }{\nu \varpi ^{\nu }}},$

et ensuite, à cause de $\mu =\nu \varpi ,$ à celui-ci

${\frac {\nu (\nu +1)(\nu +2)\ldots (\mu -1)}{\varpi ^{\nu -1}}}.$

64. La réduite en $f$ sera donc, généralement parlant, du degré

${\frac {\nu (\nu +1)(\nu +2)\ldots (\mu -1)}{\varpi ^{\nu -1}}}.$

mais cette équation pourra toujours s’abaisser à un degré inférieur par des considérations semblables à celles des n^os 57 et 59. En effet, si $\varpi$ est