nombre les permutations qui ne produiront aucun changement dans l’expression de
Pour cela je remarque d’abord que si l’on suppose qu’on échange respectivement les racines
en
ou en
ou, etc., il en résultera dans les équations précédentes les mêmes changements que si l’on échangeait
en
ou en
ou, etc. ; de sorte que les permutations des quantités
entre elles seront équivalentes aux permutations des racines
entre elles, ces permutations étant combinées avec les permutations correspondanteset simultanées des racines
entre elles, avec celles des racines
entre elles, etc.
Or, comme dans la détermination des coefficients
on doit faire disparaître les quantités
par l’élimination, il sera indifférent que ces quantités soient mises les unes à la place des autres d’une manière quelconque ; par conséquent il ne résultera de leurs permutations quelconques aucun changement dans les valeurs de
donc, puisque ces quantités étant au nombre de
sont susceptibles de
permutations, voilà autant de permutations entre les
racines
qui ne produiront aucun changement dans les valeurs de
d’où il s’ensuit que, dans le nombre total
des valeurs particulières de
chaque valeur se trouvera répétée
fois ; par conséquent il ne pourra y avoir qu’un nombre de valeurs différentes de
exprimé par
![{\displaystyle {\frac {1.2.3\ldots \mu }{1.2.3\ldots \nu }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32151a076c2748243fd2021c3516a615c8063354)
63. Maintenant si l’on considère les permutations des racines ![{\displaystyle x',x'',x''',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32c4e8154e6cc5f2a82675425accad2c9cefbf23)
entre elles, et qu’on considère en même temps les premières équations du no 62, lesquelles renferment ces racines, on y pourra appliquer des raisonnements analogues à ceux du no 55, et l’on en conclura que les échanges de la racine
en les autres racines ![{\displaystyle x'',x''',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eeb67f497472f7eade85995c5b50445a798cc65)
ne produiront aucun changement dans les valeurs de
puisque ces échanges donneront les mêmes résultats que l’on aurait en substituant successivement
à la place de