Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/323

Substituant donc successivement ces valeurs à la place de $y$ dans l’équation subsidiaire $(b)$ du n^o 51, et mettant en même temps $x',x'',$$x''',\ldots$ à la place de $x$ (53), on aura les $\mu$ équations suivantes

${\begin{alignedat}{3}x^{'\rho }\ \,+&fx^{'\rho -1}+&gx^{'\rho -2}+&\ldots +l+\ \ \zeta '&=0,\\x^{''\rho }\ +&fx^{''\rho -1}+&gx^{''\rho -2}+&\ldots +l+\,\alpha \zeta '&=0,\\x^{'''\rho }+&fx^{'''\rho -1}+&gx^{'''\rho -2}+&\ldots +l+\alpha ^{2}\zeta '&=0,\\\end{alignedat}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$

${\begin{alignedat}{3}\left[x^{(\varpi +1)}\right]^{\rho }+&\left[x^{(\varpi +1)}\right]^{\rho -1}+&\left[x^{(\varpi +1)}\right]^{\rho -2}+&\ldots +l+\ \ \zeta ''&=0,\\\left[x^{(\varpi +2)}\right]^{\rho }+&\left[x^{(\varpi +2)}\right]^{\rho -1}+&\left[x^{(\varpi +2)}\right]^{\rho -2}+&\ldots +l+\ \alpha \zeta ''&=0,\\\left[x^{(\varpi +3)}\right]^{\rho }+&\left[x^{(\varpi +3)}\right]^{\rho -1}+&\left[x^{(\varpi +3)}\right]^{\rho -2}+&\ldots +l+\alpha ^{2}\zeta ''&=0,\\\end{alignedat}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$

${\begin{alignedat}{3}\left[x^{(2\varpi +1)}\right]^{\rho }+&\left[x^{(2\varpi +1)}\right]^{\rho -1}+&\left[x^{(2\varpi +1)}\right]^{\rho -2}+&\ldots +l+\ \ \zeta '''&=0,\\\left[x^{(2\varpi +2)}\right]^{\rho }+&\left[x^{(2\varpi +2)}\right]^{\rho -1}+&\left[x^{(2\varpi +2)}\right]^{\rho -2}+&\ldots +l+\ \alpha \zeta '''&=0,\\\left[x^{(2\varpi +3)}\right]^{\rho }+&\left[x^{(2\varpi +3)}\right]^{\rho -1}+&\left[x^{(2\varpi +3)}\right]^{\rho -2}+&\ldots +l+\alpha ^{2}\zeta '''&=0,\\\end{alignedat}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$

Or, comme on doit supposer dans ce cas (52)

$\rho =\nu (\varpi -1)=\mu -\nu$

pour que le nombre des indéterminées $f,g,\ldots ,l$ soit aussi $\mu -\nu ,$ il est clair que, si dans les $\mu$ équations qu’on vient de trouver on élimine d’abord les $\nu$ quantités $\zeta ',\zeta '',\zeta ''',\ldots ,\zeta ^{(\nu )},$ il restera $\mu -\nu$ équations, qui serviront à déterminer les $\mu -\nu$ inconnues $f,g,\ldots ,l.$

Imaginons maintenant qu’on ait trouvé, par les règles ordinaires de l’élimination, l’expression de $f$ (on appliquera les mêmes raisonnements aux autres indéterminées $g,\ldots ,l$) ; on cherchera toutes les valeurs différentes de $f$ qui peuvent venir des permutations des $\mu$ racines $x',x'',\ldots$ entre elles, et l’on aura les racines de l’équation en $f,$ laquelle sera par conséquent d’un degré égal au nombre de ces différentes valeurs.

Or les racines $x',x'',\ldots$ étant au nombre de $\mu ,$ seront susceptibles en général de $1.2.3\ldots \mu$ permutations ; mais il faudra défalquer de ce