Il se peut au reste que ces équations en
ou en
etc., soient encore susceptibles de quelques réductions ; c’est ce qui dépendra de la forme des fonctions de
par lesquelles les quantités
seront exprimées ; mais nous n’entrerons pas dans cette recherche, d’autant que dans le cas où l’exposant
est un nombre composé on peut simplifier la Solution de M. Tschirnaus en ne faisant évanouir que quelques-uns des termes intermédiaires de la transformée (52).
62. Nous allons donc chercher à priori les résultats qu’on doit avoir dans ce cas, et nous supposerons, comme dans le numéro cité, que,
étant égal à
tous les termes de la transformée en
dont les exposants ne seront pas divisibles par
disparaissent, en sorte que, faisant
l’équation
devienne
![{\displaystyle z^{\nu }+\mathrm {D} z^{\nu -1}+\mathrm {K} z^{\nu -2}+\ldots +\mathrm {V} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35e41930b4af329886d14cb28f2f37348e1ee464)
laquelle aura par conséquent
racines que nous dénoterons par ![{\displaystyle z',z'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da4b5f0c3b818b5e5abfcceaee04109a9a0859ff)
et comme l’équation
donne
![{\displaystyle y={\sqrt[{\varpi }]{z}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62ea7dd50dc7d4ed33f0e4bbb4daae37755cf337)
ou bien, en dénotant par
les
racines de ![{\displaystyle y^{\varpi }-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddd9f39f521459ac833003da15eb59a459cd7186)
![{\displaystyle y={\sqrt[{\varpi }]{z}},\quad \alpha {\sqrt[{\varpi }]{z}},\quad \alpha ^{2}{\sqrt[{\varpi }]{z}},\ldots ,\quad \alpha ^{\varpi -1}{\sqrt[{\varpi }]{z}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/264eac19ca13e09ae5eb79658456d2415323adbf)
on aura, en substituant successivement à la place de
les
racines ![{\displaystyle z',z'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da4b5f0c3b818b5e5abfcceaee04109a9a0859ff)
et faisant pour plus de simplicité
![{\displaystyle \zeta '={\sqrt[{\varpi }]{z'}},\quad \zeta ''={\sqrt[{\varpi }]{z''}},\quad \zeta '''={\sqrt[{\varpi }]{z'''}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b1714acca776b64715efc1451a967ca180e816c)
on aura, dis-je, ces
valeurs de ![{\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
![{\displaystyle {\begin{array}{lllll}\zeta ',&\ \alpha \zeta ',&\ \alpha \zeta ',&\ \alpha ^{2}\zeta ',&\ \alpha ^{3}\zeta ',\ldots ,&\ \alpha ^{\varpi -1}\zeta ',\\\zeta '',&\ \alpha \zeta '',&\ \alpha \zeta '',&\ \alpha ^{2}\zeta '',&\ \alpha ^{3}\zeta '',\ldots ,&\ \alpha ^{\varpi -1}\zeta '',\\\zeta ''',&\,\ \alpha \zeta ''',&\ \alpha \zeta ''',&\,\ \alpha ^{2}\zeta ''',&\ \alpha ^{3}\zeta ''',\ldots ,&\ \alpha ^{\varpi -1}\zeta ''',\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7f7b54f64fe19971dba42baaf867f8f2dd96d98)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
![{\displaystyle {\begin{array}{lllll}\zeta ^{(\nu )},&\alpha \zeta ^{(\nu )},&\alpha \zeta ^{(\nu )},&\alpha ^{2}\zeta ^{(\nu )},&\alpha ^{3}\zeta ^{(\nu )},\ldots ,&\alpha ^{\varpi -1}\zeta ^{(\nu )},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfe789a3e162d3c7cf09728e077a9881ab0be046)
qui seront celles des racines ![{\displaystyle y',y'',y''',\ldots ,y^{(\mu )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbaa2a0460726b57e46eb49015e60df1ea7eb252)