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seule équation

$y^{2}+1=0,$

dont les racines seront $\alpha$ et $\alpha ^{3}.$

Si $\mu =6,$ on aura $r=2,\ s=3\,;$ donc $\mu '=3,\ \mu ''=2,$ ce qui donnera ces deux équations

${\begin{aligned}&y^{3}+1=0,\\&y^{4}+y^{2}+1=0,\end{aligned}}$

dont le plus grand commun diviseur est

$y^{2}-y+1=0,$

équation dont les racines seront par conséquent $\alpha$ et $\alpha ^{5}.$

Si $\mu =8,$ on aura $r=2\,;$ donc $\mu '=4,$ et l’on aura cette seule équation

$y^{4}+1=0,$

dont les racines seront $\alpha ,\alpha ^{3},\alpha ^{5},\alpha ^{7},$ et ainsi de suite.

Quant à l’exposant $\lambda ,$ on peut le déterminer à priori d’après les facteurs du nombre $\mu ,$ car on aura toujours

$\lambda ={\frac {\mu }{rst\ldots }}(r-1)(s-1)(t-1)\ldots ,$

comme on peut le démontrer aisément en cherchant combien, parmi les nombres moindres que $\mu ,$ il y en aura de premiers à $\mu .$ (Voyez les Nouveaux Commentaires de Pétersbourg, tome VIII.)

61. Ayant donc trouvé ainsi l’équation $(i)$, on s’en servira pour éliminer $y$ de l’expression de $f,$ et il en résultera l’équation $(h)$, dont tous les coefficients $\mathrm {F,G} ,\ldots$ seront des fonctions des racines $x',x'',\ldots$ sans $\alpha ,$ telles qu’elles ne seront susceptibles que de ${\frac {1.2.3\ldots (\mu -1)}{\lambda }}$ variations, par toutes les permutations possibles des racines $x',x'',\ldots$ entre elles ; de sorte que chacune de ces fonctions sera donnée simplement par une équation du degré

${\frac {1.2.3\ldots (\mu -1)}{\lambda }},$

comme on l’a déjà dit plus haut.