une ou plusieurs fois dans le nombre
il est facile de voir que les puissances de
qu’il faudra exclure, pour avoir uniquement les puissances
dont les exposants sont premiers à
il est facile de voir, dis-je, que ces puissances seront celles dont les exposants seront des multiples des nombres
de plus il est clair, par ce qu’on a démontré dans le no 24, que ces mêmes puissances de seront les racines des équations
![{\displaystyle y^{\frac {\mu }{r}}-1=0,\quad y^{\frac {\mu }{s}}-1=0,\quad y^{\frac {\mu }{t}}-1=0,\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df7d8f9b0fa62ed2eea10c8b4a82badcc6568442)
donc, si l’on fait pour plus de simplicité
![{\displaystyle {\frac {\mu }{r}}=\mu ',\quad {\frac {\mu }{s}}=\mu '',\quad {\frac {\mu }{t}}=\mu ''',\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e534b1884b9b7934a8c05299b47f0fffeb151b1)
et qu’on divise l’équation
successivement par celles-ci
![{\displaystyle y^{\mu '}-1=0,\quad y^{\mu ''}-1=0,\quad y^{\mu '''}-1=0,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1f8982f9770685c556662923544235b02fb9fcf)
on aura les équations suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}y^{\mu -\mu '}\ +y^{\mu -2\mu '}\ +y^{\mu -3\mu '}\ \ +\ldots +1&=0,\\y^{\mu -\mu ''}\,+y^{\mu -2\mu ''}\,+y^{\mu -3\mu ''}\ +\ldots +1&=0,\\y^{\mu -\mu '''}+y^{\mu -2\mu '''}+y^{\mu -3\mu '''}+\ldots +1&=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca5bef29e1d84188c4d3473d4506fa84c1e76139)
dont la première aura pour racines toutes les puissances de
jusqu’à
à l’exception de celles dont les exposants seront des multiples de
la seconde, toutes les puissances de
à l’exception de celles dont les exposants seront des multiples de
la troisième, etc. ; d’où l’on peut conclure que, si l’on cherche le plus grand commun diviseur de toutes ces équations, on aura l’équation cherchée, dont les racines seront les puissances
et qui sera par conséquent de la forme
![{\displaystyle (i)\qquad \qquad \qquad y^{\lambda }+\beta y^{\lambda -1}+\gamma y^{\lambda -2}+\ldots +\gamma y^{2}+\beta y+1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b6947e2645da05cbd7857f78a9a8a36be5e8fd2)
Ainsi, par exemple, si
on aura
et l’on aura cette