Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/315

de $\alpha u$ dans la seconde équation, et $\alpha u$ à la place de $\alpha ^{3}u$ dans la quatrième, et l’on cherchera comme auparavant les $1.2.3\ldots (\mu -2)$ variations provenantes des permutations entre les $\mu -2$ racines $x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots ,$ et ainsi de suite. Ce procédé donnera $\mu -1$ fois $1.2.3\ldots (\mu -2)$ variations, ce qui fera le nombre total des $1.2.3\ldots (\mu -1)$ variations cherchées.

Or je dis que dès qu’on aura trouvé les $1.2.3\ldots (\mu -2)$ variations, qui ont lieu tant que $x''$ demeure à sa place, et qu’on change celles des autres racines $x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots ,$ on pourra en déduire immédiatement toutes les variations résultantes des permutations entre les $\mu -1$ racines $x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots$ en substituant successivement $\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots ,\alpha ^{\mu -1}$ à la place de $\alpha$ dans toutes les équations $(e)$ car par ce moyen le terme $\alpha u$ de la seconde équation se changera successivement en $\alpha ^{2}u,\alpha ^{3}u,\ldots ,$ et les termes $\alpha ^{2}u,\alpha ^{3}u,\ldots$ des autres équations ne feront que s’échanger entre eux (à cause que $\mu$ est un nombre premier, comme on peut s’en convaincre par ce qui a été démontré dans le n^o 24), échanges qui équivalent évidemment à ceux des racines $x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots$ entre elles.

D’où je conclus que quand on aura trouvé par le moyen des équations $(e)$ l’expression de $f$ en $x',x'',x''',\ldots$ et $\alpha ,$ et qu’on voudra connaître les $1.2.3\ldots (\mu -1)$ valeurs de $f$ qui résultent des permutations des racines $x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots$ entre elles, et qui doivent être les racines de l’équation en $f$ du degré $1.2.3\ldots (\mu -1)$ (numéro précédent), il suffira de chercher les $1.2.3\ldots (\mu -2)$ valeurs de $f$ provenantes des seules permutations entre les racines $x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots$ et d’y échanger ensuite successivement $\alpha$ en $\alpha ^{2},\alpha ^{3},\alpha ^{4},$$\ldots ,\alpha ^{\mu -1}\,;$ ou bien, ce qui revient au même, on échangera d’abord dans l’expression de $f$ la racine $\alpha$ en $\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots ,\alpha ^{\mu -1},$ et ensuite on fera dans chacune de ces $\mu -1$ valeurs de $f$ les $1.2.3\ldots (\mu -2)$ permutations qui ont lieu entre les $\mu -2$ racines $x'',x''',\ldots \,;$ on aura par là les $1.2.3\ldots (\mu -1)$ racines de l’équation en $f.$

57. Imaginons maintenant que les $\mu -1$ valeurs de $f$ qui viennent de la substitution successive de $\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots ,\alpha ^{\mu -1}$ à la place de $\alpha$ soient les racines de l’équation du $(\mu -1)$^ième degré

$(f)\qquad \qquad \qquad f^{\mu -1}+\mathrm {F} f^{\mu -2}+\mathrm {G} f^{\mu -3}+\ldots =0,$