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il s’ensuit que les inconnues $f,g,h,\ldots$ seront susceptibles de différentes valeurs, qu’on trouvera toutes en faisant toutes les combinaisons possibles des racines $x',x'',x''',\ldots$ avec les racines $y',y'',y''',\ldots .$ C’est par le nombre et la forme de ces différentes valeurs d’une même inconnue qu’on pourra juger du degré et de la nature de l’équation par laquelle elle doit être déterminée.

54. Supposons d’abord que tous les termes intermédiaires de la transformée en y doivent disparaître, en sorte qu’elle se réduise à la forme

$y^{\mu }+\mathrm {V} =0\,;$

pour cela il faudra faire dans l’équation subsidiaire $\rho =\mu -1$ pour avoir $\mu -1$ indéterminées (52), et comme l’équation $y^{\mu }+\mathrm {V} =0$ donne [en supposant pour plus de simplicité

$u={\sqrt[{\mu }]{-\mathrm {V} }}$

et désignant par $1,\alpha ,\alpha ^{2},\ldots ,\alpha ^{\mu -1}$ les racines de l’équation $y^{\mu }-1=0$ (24)], les racines $u,\alpha u,\alpha ^{2}u,\ldots ,\alpha ^{\mu -1}u,$ on aura, en prenant ces racines pour $y',y'',y''',\ldots .$ et les substituant, ainsi que les racines $x',x'',x''',\ldots .$ dans l’équation subsidiaire, on aura, dis-je, ces $\mu$ équations

$(e)\qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}x^{'\mu -1}\ \ +fx^{'\mu -2}\ +gx^{'\mu -3}\ +\ldots +l+\quad \ u&=0,\\x^{''\mu -1}\ +fx^{''\mu -2}+gx^{''\mu -3}\ +\ldots +l+\ \ \alpha u&=0,\\x^{'''\mu -1}+fx^{'''\mu -2}+gx^{'''\mu -3}+\ldots +l+\alpha ^{2}u&=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{aligned}}\right.$

par lesquelles on pourra déterminer tant la quantité $u$ que les $\mu -1$ quantités $f,g,\ldots ,l.$

Comme ces inconnues ne sont qu’au premier degré dans les équations précédentes, il est clair que le système de toutes ces équations ne donnera qu’une seule valeur déterminée pour chacune de ces inconnues. Or, supposons que l’on ait trouvé, par la méthode ordinaire d’élimination, la valeur de l’inconnue $f$ (on fera les mêmes raisonnementspour chacune des autres indéterminées $g,h,\ldots ,l$), il est visible que cette valeur sera exprimée par une fonction des $\mu$ racines $x',x'',x''',\ldots$ et de la racine $\alpha .$ Donc, si l’on y fait toutes les permutations possibles entre les $\mu$ racines $x',$