donc, dans ce cas,
termes à faire disparaître ; par conséquent il faudra prendre
pour avoir autant d’indéterminées, et de ce qu’on a démontré dans le no 14 il est facile de conclure que l’équation finale qu’on aura dans ce cas sera, en général, du degré marqué par le nombre
![{\displaystyle 1.2.3\ldots (\varpi -1)(\varpi +1)(\varpi +1)\ldots (2\varpi -1)(2\varpi +1)(2\varpi +1)\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/084323cfb0421e4934574cfee23341f5b5203b8e)
![{\displaystyle (3\varpi -1)\ldots (\nu \varpi -1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bceb2d2f2e95cbddf78e294cf7e802942c372060)
c’est-à-dire du degré
![{\displaystyle {\frac {1.2.3.4\ldots (\mu -1)}{\varpi .2\varpi .3\varpi \ldots (\nu -1)\varpi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc59b25d1b97a9eef0914cc34c549239c5049361)
ou bien de celui-ci
![{\displaystyle {\frac {\nu (\nu +1)(\nu +2)\ldots (\mu -1)}{\varpi ^{\nu -1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4452f7a73f2e91f3bbd635e4de3b8e60f5a215e6)
Tels seront donc les degrés auxquels pourront monter les réduites qu’il faudra résoudre lorsqu’on voudra faire usage de la méthode de M. Tschirnaus ; mais il peut se faire que ces réduites soient telles qu’elles puissent s’abaisser à des degrés moindres c’est ce qu’il serait comme impossible de reconnaître à posteriori, c’est-à-dire par la forme même de ces réduites, mais on pourra s’en assurer à priori par la considération de leurs racines, regardées comme des fonctions de celles de l’équation proposée, et de l’équation transformée en
ainsi qu’on va le voir.
53. Désignons, en général, par
les
racines de l’équation proposée
![{\displaystyle x^{\mu }+mx^{\mu -1}+nx^{\mu -2}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06d3ea207f20b368efedbc5f351566db458c6d75)
et par
les
racines de la transformée
![{\displaystyle y^{\mu }+\mathrm {A} y^{\mu -1}+\mathrm {B} y^{\mu -2}+\ldots +\mathrm {V} =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/167c3aa5e623790a4e652bed6e525cebe4b4e5cd)
substituant successivement ces racines dans l’équation subsidiaire
![{\displaystyle x^{\rho }+fx^{\rho -1}+gx^{\rho -2}+hx^{\rho -3}+\ldots +l+y=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dae06b03ca22f27088eb70028d56b74eaee80b4c)
on aura
équations particulières par lesquelles on pourra déterminer les coefficients indéterminés
et comme chacune des racines ![{\displaystyle y',y'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebd3c4dbc71401f3dfc41f00186908624b799720)
peut répondre également à chacune des racines ![{\displaystyle x',x'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce49d201020327a47ec5b0e346886185b3f2a10f)
![{\displaystyle x''',\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8197a1e576bea59a74637fa29b0407fe2034dc0)