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sance de $x,$ et il est aisé de prouver que cette équation sera de la forme

$\mathrm {F} +\mathrm {G} y+\mathrm {H} y^{2}+\ldots +\mathrm {K} y^{\lambda }+\left(\mathrm {L} +\mathrm {M} y+\mathrm {N} y^{2}+\ldots +\mathrm {R} y^{\lambda }\right)x=0\,;$

d’où l’on aura

(d)$\quad \qquad \qquad \qquad x=-{\frac {\mathrm {F} +\mathrm {G} y+\mathrm {H} y^{2}+\ldots +\mathrm {K} y^{\lambda }}{\mathrm {L} +\mathrm {M} y+\mathrm {N} y^{2}+\ldots +\mathrm {R} y^{\lambda }}},$

$\lambda$ étant égal à ${\frac {\mu }{2}}$ si $\mu$ est pair, et égal à ${\frac {\mu -1}{2}}$ si $\mu$ est impair.

De cette manière on aura donc $x$ exprimé par une fonction rationnelle de $y,$ de sorte que si l’on connaît toutes les $\mu$ valeurs de $y,$ on aura par leur substitution successive les $\mu$ valeurs correspondantes de $x$ qui seront les racines de la proposée.

52. Cette méthode est, comme on voit, très-simple et très-générale ; mais la difficulté est de pouvoir déterminer les indéterminées $f,g,h,\ldots ,$ en sorte que la transformée en $y$ soit résoluble.

La supposition la plus naturelle et en même temps la plus générale qu’on puisse faire pour cet objet, c’est d’égaler à zéro les coefficients $\mathrm {A,B} ,\ldots$ de tous les termes intermédiaires ; en sorte que l’équation en $y$ se réduise à cette forme

$y^{\mu }+\mathrm {V} =0,$

dont on peut toujours avoir immédiatement une ou deux racines suivant que $\mu$ est impair, ou pair, et dont les autres racines ne dépendent plus que d’une équation du degré ${\frac {\mu -1}{2}}$ ou ${\frac {\mu -2}{2}}$ (21), outre qu’on peut aussi les déterminer toutes directement par la division de la circonférence du cercle (23).

Il faudra donc prendre dans ce cas $\rho =\mu -1$ pour avoir autant d’indéterminées que d’équations à remplir, et l’on tombera, en général, dans une équation finale du degré $1.2.3\ldots (\mu -1),$ comme on l’a prouvé dans le n^o 14.

Si l’exposant $\mu$ est un nombre composé, en sorte que l’on ait $\mu =\nu \varpi ,$ il est clair qu’on pourra, en faisant $y^{\varpi }=z$ et faisant disparaître tous les termes de l’équation en $y$ dont l’exposant ne sera pas divisible par $\varpi ,$ réduire cette équation en une équation en $z$ du degré inférieur $\nu .$ On aura