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51. Considérons en général l’équation du \muième degré

(a)$\qquad \qquad \qquad x^{\mu }+mx^{\mu -1}+nx^{\mu -2}+px^{\mu -3}+\ldots =0.$

Suivant la méthode de M. Tschirnaus on prendra une équation subsidiaire, telle que

(b)$\qquad \qquad \qquad \qquad x^{\rho }+fx^{\rho -1}+gx^{\rho -2}+\ldots =0,$

qui contient $\rho$ indéterminée $f,g,\ldots$ avec une nouvelle inconnue $y\,;$ on éliminera par le moyen de ces deux équations l’inconnue $x,$ et l’on aura une transformée en $y$ qui sera du même degré $\mu$ que la proposée, et qui aura cette forme

(c)$\qquad \qquad \qquad y^{\mu }+\mathrm {A} y^{\mu -1}+\mathrm {B} y^{\mu -2}+\mathrm {C} y^{\mu -3}+\ldots =0,$

où les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ seront des fonctions rationnelles et entières des coefficients indéterminés, $f,g,\ldots ,$ et où l’on aura, en particulier, $\mathrm {A}$ égal à une fonction de la première dimension, $\mathrm {B}$ égal à une fonction de la seconde dimension, et ainsi de suite (14).

Or, ayant $\rho$ indéterminées, on pourra par leur moyen faire évanouir, dans la transformée en $y,$ $\rho$ termes à volonté, ou bien établir entre ces termes telles relations qu’on voudra, dépendantes de $\rho$ équations, et par là rendre l’équation en $y$ résoluble, ou au moins réductible à une équation de degré inférieur. La résolution de cette équation en $y$ donnera sur-le-champ celle de l’équation proposée en $x,$ car nous avons démontré (11) que l’équation en $y$ renferme les conditions nécessaires pour que les deux équations d’où l’on a éliminé $x$ aient une racine commune ; de sorte que la valeur de $x$ ne pourra être que la racine commune aux deux équations $(a)$ et $(b),$ qu’on trouvera en cherchant leur plus grand commun diviseur et l’égalant à zéro.

On fera pour cela l’opération ordinaire, qu’on continuera jusqu’à ce qu’on parvienne à un reste où $x$ ne soit plus que linéaire ce reste sera le diviseur cherché ; ou bien, ce qui revient au même, on éliminera successivement des deux équations précédentes les puissances de $x,$ jusqu’à ce qu’on arrive à une équation qui ne renferme que la première puis-