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degrés car, quelque permutation qu’on fasse entre les quatre racines $x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ on n’aura jamais que ces trois valeurs différentes de $k,$

${\begin{aligned}&{\frac {x'x''-x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{x'+x''-x'''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}},\\&{\frac {x'x'''-x''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{x'+x'''-x''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}},\\&{\frac {x'x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-x''x'''}{x'+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-x''-x'''}},\end{aligned}}$

d’après lesquelles valeurs on pourrait, si l’on voulait, trouver directement l’équation même en $k.$

Si l’on fait $\mathrm {D} =-1,$ on aura

$g={\frac {x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x'''-x'-x''}{2}},$

en sorte que la quantité $g$ sera la même que la quantité $z$ du n^o 29, et qu’on y pourra appliquer les conséquences trouvées au n^o 32. Si, dans cette hypothèse de $\mathrm {D} =-1,$ on cherchait $k$ au lieu de $g,$ on aurait

$k={\frac {x'x''-x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{2}},$

et l’équation en $k$ serait aussi du sixième degré avec tous ses exposants pairs, ses racines étant

${\begin{array}{lll}{\dfrac {x'x''-x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{2}},&{\dfrac {x'x'''-x''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{2}},&{\dfrac {x'x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-x''x'''}{2}},\\\\{\dfrac {x''x'''-x'x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{2}},&{\dfrac {x''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-x'x'''}{2}},&{\dfrac {x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-x'x''}{2}}.\end{array}}$

Au reste, cette équation en $k$ pourrait se dériver aisément de l’équation en $u$ du n^o 30 ; car puisque

$k={\frac {x'x''-x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{2}}\quad {\text{et}}\quad u=x'x''+x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$

(il faut se souvenir que $x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ désignent ici les mêmes quantités