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représentant (25) par $1,\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3}$ les quatre racines de l’équation $x^{4}-1=0,$ on aura

$b={\frac {x'+\alpha x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\alpha ^{2}x''+\alpha ^{3}x'''}{4}},$

ou bien, ce qui revient au même, en échangeant $x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ en $x'',$ $x''$ en $x'''$ et $x'''$ en $x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$

$b={\frac {x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''+\alpha ^{3}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{4}},$

expression analogue à celle qu’on a trouvée pour la réduite du troisième degré (n^os 6 et 19), ce qui sert à faire voir l’analogie entre la résolution du quatrième degré déduite de cette dernière méthode et celle de la résolution des équations du troisième degré.

49. Si l’on reprend les équations du n^o 46,

${\begin{aligned}&x=a+by+cy^{2}+dy^{3},\\&y^{4}+\mathrm {D} =0,\end{aligned}}$

et qu’on y suppose $y^{2}=z,$ on aura ces deux-ci

${\begin{aligned}&x=(a+cz)+(b+dz){\sqrt {z}},\\&z^{2}+\mathrm {D} =0,\end{aligned}}$

dont la première, étant délivrée de l’irrationnalité, devient

$(x-a-cz)^{2}-(b+dz)^{2}=0,$

laquelle, à cause de $z^{2}=-\mathrm {D} ,$ se réduira à cette forme

$x^{2}+(f+gz)x+h+kz=0.$

De cette manière on aura donc les deux équations

${\begin{aligned}&z^{2}+\mathrm {D} =0,\\&x^{2}+(f+gz)x+h+kz=0,\end{aligned}}$

qui, par l’élimination de $z,$ donneront une équation du quatrième degré comparable à la proposée

$x^{4}+mx^{3}+nx^{2}+px+q=0\,;$