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on aura cette équation en $bd,$ en substituant, dans l’équation en $u$ du numéro cité, ${\frac {m^{2}-2n-16bd}{2}}$ à la place de $u.$

Supposons maintenant que $\rho ',\rho '',\rho '''$ soient les racines de cette équation en $bd,$ on aura (numéro cité)

${\begin{aligned}\rho '\ \ =&{\frac {m^{2}-2n}{16}}-{\frac {x'x''+x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{8}}=bd,\\\rho ''\ =&{\frac {m^{2}-2n}{16}}-{\frac {x'x'''+x''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{8}},\\\rho '''=&{\frac {m^{2}-2n}{16}}-{\frac {x'x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x''x'''}{8}}\,;\end{aligned}}$

or, si l’on multiplie ensemble les deux équations

$x'-x''=2(b+d),\quad x'''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=2(b-d){\sqrt {-1}}$

du n^o 48, on a

$x'x'''+x''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-x''x'''-x'x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=4\left(b^{2}-d^{2}\right){\sqrt {-1}}\,;$

donc

$4\left(b^{2}-d^{2}\right){\sqrt {-1}}=8(\rho '''-\rho ''),$

et, prenant les carrés,

$b^{4}-2b^{2}d^{2}+d^{4}=-4(\rho '''-\rho '')^{2}\,;$

mais on a déjà $bd=\rho '\,;$ donc

$b^{4}+d^{4}=2\rho '^{2}-4(\rho '''-\rho '')^{2},$

et, à cause de $d={\frac {\rho '}{b}},$

$b^{4}+{\frac {\rho '^{4}}{b^{4}}}=2\rho '^{2}-4(\rho '''-\rho '')^{2}\,;$

donc

$b^{8}-2\left[\rho '^{2}-2(\rho '''-\rho '')^{2}\right]b^{4}+\rho '^{4}=0,$

équation du huitième degré, résoluble à la manière de celles du deuxième, ce qui s’accorde avec le résultat de M. Bezout.

Au reste, il est à propos de remarquer, touchant la réduite en $b,$ qu’en