Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/300

$-b,b{\sqrt {-1}},$ et $-b{\sqrt {-1}}$ en seront aussi. En effet, prenant comme plus haut

$b={\frac {x'-x''-\left(x'''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right){\sqrt {-1}}}{4}},$

il est visible que la quantité $b$ deviendra $-b$ en échangeant $x'$ en $x''$ et $x'''$ en $x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ qu’elle deviendra $b{\sqrt {-1}}$ en échangeant $x'$ en $x'''$ et $x''$ en $x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ et qu’enfin elle deviendra $-b{\sqrt {-1}}$ en échangeant $x'$ en $x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ et $x''$ en $x'''.$ Donc il faudra que l’équation en $b$ demeure la même en y prenant $b$ négatif et en y mettant $\pm b{\sqrt {-1}}$ à la place de $b\,;$ ce qui exige qu’elle ne contienne aucune puissance impaire de $b$ ni aucune puissance pairement impaire. D’où il s’ensuit qu’en faisant $b^{4}=v$ on aura une réduite en $v$ du sixième degré. Et l’on remarquera que cette réduite en $v$ sera la même que celle en $-\mathrm {D}$ dans l’hypothèse de $b=1$ (numéro précédent) ; car il est visible que la valeur de $-\mathrm {D}$ est la même que celle de $b^{4}$ ci-dessus.

On pourrait démontrer ici, par une méthode semblable à celle dont nous avons fait usage dans le n^o 32, que cette équation en $v$ pourra se décomposer en trois équations du second degré au moyen d’une réduite du troisième ; mais on peut le prouver d’une manière plus simple que voici.

Je fais le produit des quantités $b$ et $d,$ j’ai

$bd={\frac {(x'-x'')^{2}+\left(x'''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)^{2}}{16}}\,;$

or

${\begin{aligned}(x'-x'')^{2}+\left(x'''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)^{2}=&x'^{2}+x''^{2}+x'''^{2}+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV2}}}-2\left(x'x''+x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\\=&m^{2}-2n-2\left(x'x''+x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right),\end{aligned}}$

et il est clair que la quantité $x'x''+x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ est la même que la quantité $u$ du n^o 30 que nous avons vu dépendre d’une équation du troisième degré ; d’où il s’ensuit que l’équation en $bd$ sera aussi du troisième degré. Et comme

$bd={\frac {m^{2}-2n-2u}{16}},$