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Or, comme les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ ne renferment point la lettre $b,$ il est clair que cette série sera ordonnée relativement aux puissances négatives de $b.$

Si l’on fait $\psi (y)=y^{m},$ ce qui donne $\psi '(y)=my^{m-1},$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {b^{m}x^{m}}{a^{m}}}=&1+{\frac {m\mathrm {A} }{b^{2}}}-{\frac {m\mathrm {B} }{b^{3}}}+{\frac {m\mathrm {C} +{\cfrac {m(m+3)}{2}}\mathrm {C} _{1}}{b^{4}}}-{\frac {m\mathrm {D} +{\cfrac {m(m+4)}{2}}\mathrm {D} _{1}}{b^{5}}}\\&+{\frac {m\mathrm {E} +{\cfrac {m(m+5)}{2}}\mathrm {E} _{1}+{\cfrac {m(m+4)(m+5)}{2.3}}\mathrm {E} _{2}}{b^{6}}}-\ldots .\end{aligned}}$

Et si l’on fait $\psi (y)=\log y,$ d’où $\psi '(y)={\frac {1}{y}},$ on aura

$\log {\frac {bx}{a}}=1+{\frac {\mathrm {A} }{b^{2}}}-{\frac {\mathrm {B} }{b^{3}}}+{\frac {\mathrm {C} +{\cfrac {3}{2}}\mathrm {C} _{1}}{b^{4}}}-{\frac {\mathrm {D} +{\cfrac {4}{2}}\mathrm {D} _{1}}{b^{5}}}+{\frac {\mathrm {E} +{\cfrac {5}{2}}\mathrm {E} _{1}+{\cfrac {4.5}{2.3}}\mathrm {E} _{2}}{b^{6}}}-\ldots .$

20. Les séries que nous venons de trouver sont ordonnées relativement aux puissances de $b\,;$ si l’on voulait qu’elles le fussent relativement à celles de $a,$ il n’y aura qu’à ordonner de cette manière la série résultante de la fraction

${\frac {1}{1-z{\cfrac {cay^{2}}{b^{2}}}+z{\cfrac {da^{2}y^{3}}{b^{3}}}-z{\cfrac {ea^{3}y^{4}}{b^{4}}}+\ldots }}.$

Or, comme chaque puissance de $a$ y est toujours multipliée par une pareille puissance de ${\frac {y}{b}},$ il est clair que la série aura cette forme

$1+\mathrm {P} {\frac {ay}{b}}+\mathrm {Q} {\frac {a^{2}y^{2}}{b^{2}}}+\mathrm {R} {\cfrac {a^{3}y^{3}}{b^{3}}}+\mathrm {S} z{\cfrac {a^{4}y^{4}}{b^{4}}}+\ldots \,;$

on trouvera

${\begin{aligned}\mathrm {P} &={\frac {czy}{b}},\\\mathrm {Q} &=\mathrm {P} {\frac {czy}{b}}-{\frac {dzy}{b}},\\\mathrm {R} &=\mathrm {Q} {\frac {czy}{b}}-\mathrm {P} {\frac {dzy}{b}}+{\frac {ezy}{b}},\\\mathrm {S} &=\mathrm {R} {\frac {czy}{b}}-\mathrm {Q} {\frac {dzy}{b}}+\mathrm {P} {\frac {ezy}{b}}-{\frac {fzy}{b}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$