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Donc, faisant avec M. Euler $c=1,$ on aura

$-\mathrm {D} ={\frac {\left(x'+x''-x'''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)^{2}}{16}}.$

Et il est facile de conclure de cette expression de $\mathrm {D}$ que l’équation en $\mathrm {D}$ sera effectivement du troisième degré, comme M. Euler l’a trouvé, car elle ne sera autre chose que la réduite en $t$ trouvée plus haut (32), dans laquelle on mettrait $-16\mathrm {D}$ à la place de $t,$ puisqu’on a fait

$t=s^{2}=(a+b-c-d)^{2},$

$a,b,c,d$ désignant dans ce numéro-là les quantités que nous dénotons maintenant par $x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$ c’est-à-dire les quatre racines de la proposée.

Mais si M. Euler, au lieu de supposer $c=1,$ avait supposé $b=1,$ sa réduite en $\mathrm {D}$ n’aurait plus été du troisième degré, mais elle serait montée au sixième.

Car, si des quatre équations ci-dessus on prend la différence des deux premières et la différence des deux dernières, on a ces deux-ci

${\begin{aligned}x'\,\ -x\ \ =&2b{\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} }}+2d{\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} ^{3}}},\\x'''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&\left[2b{\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} }}-2d{\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} ^{3}}}\right]{\sqrt {-1}},\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}b{\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} }}\ \ \,=&{\frac {x'-x''-\left(x'''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right){\sqrt {-1}}}{4}},\\d{\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} ^{3}}}=&{\frac {x'-x''+\left(x'''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right){\sqrt {-1}}}{4}}.\end{aligned}}$

De sorte qu’en faisant $b=1$ et prenant les quatrièmes puissances on aura

$-\mathrm {D} =\left[{\frac {x'-x''-\left(x'''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right){\sqrt {-1}}}{4}}\right]^{4},$

quantité qui doit dépendre d’une équation du sixième degré, comme on le verra dans un moment.

48. Si l’on fait avec M. Bezout $\mathrm {D} =-1,$ on aura par les formules