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dont $bd$ soit la racine, elle ne sera que du troisième degré ; et par là il démontre que la réduite en $b$ ou en $d$ ne renfermera que les difficultés du troisième degré, puisqu’elle pourra, à l’aide de l’équation en $bd,$ se décomposer en trois équations du huitième degré avec des exposants multiples de $4,$ lesquelles seront par conséquent résolubles à la manière de celles du second.

Nous nous contentons d’indiquer ici ces résultats, puisque le lecteur peut aisément les trouver de lui-même s’il n’est pas à portée de consulter les Mémoires cités ; mais nous allons chercher à priori la raison de ces résultats, comme nous l’avons pratiqué jusqu’ici.

47. Nommons $x',x'',x''',x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ les quatre valeurs de $x,$ c’est-à-dire les racines de la proposée, et les quatre valeurs de $y$ tirées de l’équation $y^{4}+\mathrm {D} =0$ étant $\pm {\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} }},\ \pm {\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} }}{\sqrt {-1}},$ on aura, par la substitution successive de ces valeurs dans l’équation

$x=a+by+cy^{2}+dy^{3},$

ces quatre-ci

${\begin{aligned}x'\ \ =&a+b{\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} }}+c{\sqrt[{4}]{\mathrm {D} ^{2}}}+d{\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} ^{3}}},\\x''\ =&a-b{\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} }}+c{\sqrt[{4}]{\mathrm {D} ^{2}}}-d{\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} ^{3}}},\\x'''=&a+b{\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} }}{\sqrt {-1}}-c{\sqrt[{4}]{\mathrm {D} ^{2}}}-d{\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} ^{3}}}{\sqrt {-1}},\\x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&a-b{\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} }}{\sqrt {-1}}-c{\sqrt[{4}]{\mathrm {D} ^{2}}}+d{\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} ^{3}}}{\sqrt {-1}}.\end{aligned}}$

Si l’on ajoute d’abord ensemble ces quatre équations on aura

$x'+x''+x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=4a=-m,$

d’où

$a={\frac {-m}{4}}.$

Ensuite, si l’on fait deux sommes à part des deux premières et des deux dernières, on aura

${\begin{aligned}x'\,\ +x''\ =&2a+2c{\sqrt[{4}]{\mathrm {D} ^{2}}},\\x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&2a-2c{\sqrt[{4}]{\mathrm {D} ^{2}}},\end{aligned}}$

d’où l’on tire

$c{\sqrt[{4}]{\mathrm {D} ^{2}}}=c{\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} }}={\frac {x'+x''+x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{4}}.$