dont
soit la racine, elle ne sera que du troisième degré ; et par là il démontre que la réduite en
ou en
ne renfermera que les difficultés du troisième degré, puisqu’elle pourra, à l’aide de l’équation en
se décomposer en trois équations du huitième degré avec des exposants multiples de
lesquelles seront par conséquent résolubles à la manière de celles du second.
Nous nous contentons d’indiquer ici ces résultats, puisque le lecteur peut aisément les trouver de lui-même s’il n’est pas à portée de consulter les Mémoires cités ; mais nous allons chercher à priori la raison de ces résultats, comme nous l’avons pratiqué jusqu’ici.
47. Nommons
les quatre valeurs de
c’est-à-dire les racines de la proposée, et les quatre valeurs de
tirées de l’équation
étant
on aura, par la substitution successive de ces valeurs dans l’équation
![{\displaystyle x=a+by+cy^{2}+dy^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6214f30acd1ad39ff623e3191ab39bf6e12942e1)
ces quatre-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}x'\ \ =&a+b{\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} }}+c{\sqrt[{4}]{\mathrm {D} ^{2}}}+d{\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} ^{3}}},\\x''\ =&a-b{\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} }}+c{\sqrt[{4}]{\mathrm {D} ^{2}}}-d{\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} ^{3}}},\\x'''=&a+b{\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} }}{\sqrt {-1}}-c{\sqrt[{4}]{\mathrm {D} ^{2}}}-d{\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} ^{3}}}{\sqrt {-1}},\\x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&a-b{\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} }}{\sqrt {-1}}-c{\sqrt[{4}]{\mathrm {D} ^{2}}}+d{\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} ^{3}}}{\sqrt {-1}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f87f6aa2f67847de8671c26ef17905db4773f89)
Si l’on ajoute d’abord ensemble ces quatre équations on aura
![{\displaystyle x'+x''+x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=4a=-m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9387e862ed3f815ce07c8b6bc22d893c19d034d)
d’où
![{\displaystyle a={\frac {-m}{4}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00a7ae8412b03b832cfdde88608fc22ff9a262c1)
Ensuite, si l’on fait deux sommes à part des deux premières et des deux dernières, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}x'\,\ +x''\ =&2a+2c{\sqrt[{4}]{\mathrm {D} ^{2}}},\\x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&2a-2c{\sqrt[{4}]{\mathrm {D} ^{2}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8da0e6444b14880ef7557a3b9fbfbf1a73b9d9f6)
d’où l’on tire
![{\displaystyle c{\sqrt[{4}]{\mathrm {D} ^{2}}}=c{\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} }}={\frac {x'+x''+x'''+x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}{4}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af19b3a7447aeb164a220c2f51002a59b32ca4e2)