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où il n’y aura plus de $y.$ Ainsi l’on pourra faire évanouir $y$ du dénominateur de l’expression de $x$ en le multipliant, aussi bien que le numérateur, par

$\left(\mathrm {S-T} y+y^{2}\right)\left[\mathrm {S^{2}-D-\left(2S-T^{2}\right)} y^{2}\right]\,;$

or par ce moyen le numérateur deviendra un polynôme où $y$ montera au sixième degré ; donc, en y substituant $-\mathrm {D}$ à la place de $y^{4},$ $-\mathrm {D} y$ à la place de $y^{5}$ et $-\mathrm {D} y^{2}$ à celle de $y^{6},$ il ne s’y trouvera plus que les puissances $y,y^{2}$ et $y^{3},$ en sorte que l’expression de $x$ sera de la forme

$a+by+cy^{2}+dy^{3}.$

Maintenant, comme la substitution des valeurs de $y$ tirées de l’équation $y^{4}+\mathrm {D} =0$ doit donner les quatre racines $x$ de la proposée

$x^{4}+mx^{3}+nx^{2}+px+q=0,$

on pourra regarder cette équation comme résultant de l’élimination de $y$ dans ces deux-ci

$x=a+by+cy^{2}+dy^{3}\quad {\text{et}}\quad y^{4}+\mathrm {D} =0,$

et la comparaison des termes homologues donnera quatre équations par lesquelles on pourra déterminer quatre quelconques des cinq coefficients $a,b,c,d$ et $\mathrm {D} ,$ le cinquième pouvant toujours être pris à volonté.

C’est la méthode que MM. Euler et Bezout ont proposée pour la résolution des équations du quatrième degré dans les Mémoires cités ci-dessus (18).

M. Euler fait $c=1,$ et il trouve par l’élimination des trois autres indéterminées $a,b,d$ une réduite en $\mathrm {D}$ du troisième degré. M. Bezout, au contraire, fait d’abord $\mathrm {D} =-1,$ et il trouve une réduite en $c$ du sixième degré résoluble à la manière des équations du troisième, parce qu’elle ne contient aucune puissance impaire de l’inconnue. M. Bezout fait voir en même temps que, si au lieu de chercher $c$ on cherchait $b$ ou $d,$ on tomberait dans une réduite du vingt-quatrième degré, avec des exposants multiples de $4,$ et par conséquent résoluble à la manière des équations du sixième degré. Il fait voir de plus que si l’on cherche une réduite