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dessus, donneront les quatre racines de la proposée. Au reste, comme ce calcul conduit à des formules assez compliquées, nous nous contentons de l’indiquer, et nous allons plutôt chercher des moyens de le simplifier.

46. Puisque la racine $x$ est de la forme

$x=-{\frac {\mathrm {Q+R} y+(m-f)y^{2}}{\mathrm {S+T} y+y^{2}}},$

la quantité $y$ devant être déterminée par l’équation deux termes

$y^{4}+\mathrm {D} =0,$

il est facile de voir qu’on peut réduire l’expression de $x$ à cette forme plus simple

$x=a+by+cy^{2}+dy^{3},$

$a,b,c,d$ étant des coefficients dépendants de $\mathrm {Q,R} ,\ldots .$ Car si l’on multiplie d’abord le haut et le bas de la fraction

${\frac {\mathrm {Q+R} y+(m-f)y^{2}}{\mathrm {S+T} y+y^{2}}}$

par $\mathrm {S-T} y+y^{2},$ le dénominateur de la nouvelle fraction deviendra

$\left(\mathrm {S} +y^{2}\right)^{2}-\mathrm {T} ^{2}y^{2},\quad {\text{c’est-à-dire}}\quad \mathrm {S^{2}+\left(2S-T^{2}\right)} y^{2}+y^{4},$

et, en mettant $-\mathrm {D}$ à la place de $y^{4},$

$\mathrm {S^{2}-D+\left(2S-T^{2}\right)} y^{2}\,;$

donc, multipliant encore tant le numérateur que le dénominateur par $\mathrm {S^{2}-D+\left(2S-T^{2}\right)} y^{2},$ le nouveau dénominateur sera

$\mathrm {\left(S^{2}-D\right)^{2}-\left(2S-T^{2}\right)^{2}} y^{4}.$

ou bien, à cause de $y^{4}=-\mathrm {D} ,$

$\mathrm {\left(S^{2}-D\right)^{2}+D\left(2S-T^{2}\right)^{2}} ,$