et l’on aura ce nouveau reste
![{\displaystyle \left(g-{\frac {\mathrm {P'+N'} f}{\mathrm {M} }}+\mathrm {\frac {N'^{2}}{M^{2}}} \right)x+h'-{\frac {\mathrm {P} 'f}{\mathrm {M} }}+\mathrm {\frac {N'P'}{M^{2}}} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56583540a6c92e6ce3a2d14957a3dbd0efa8ed54)
qui, ne renfermant que la première puissance de
devra par conséquent être le diviseur commun cherché. Faisant donc ce diviseur égal à zéro, on en tirera
![{\displaystyle x=-{\frac {\mathrm {M} ^{2}h'-\mathrm {MP'} f+\mathrm {N'P'} }{\mathrm {M} ^{2}g-\mathrm {M} (\mathrm {P'+N'} f)+\mathrm {N} '^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8db13bbe455f9ce32018a4502736e110396ddb2f)
valeur qui, étant substituée dans l’équation
![{\displaystyle \mathrm {M} x^{2}+\mathrm {N} 'x+\mathrm {P} '=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/764e0239e8988a5eb3cf6b02ebeb2d00767cc352)
donnera les conditions cherchées.
Faisons maintenant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {N} =&p-h-g(m-f),\\\mathrm {P} =&q-h(m-f),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/054a1fc1b62e42947a22bd7a86cdf80711fd423a)
et, à cause de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {N} '=&\mathrm {N} -y,\\\mathrm {P} '=&\mathrm {P} -(m-f)y\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a09c5b758c8cc6608d1fa314ebd51021c268b2d9)
donc, substituant ces valeurs dans l’expression de
et supposant de plus
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Q} =&\mathrm {M} ^{2}h-\mathrm {MP} f+\mathrm {NP} ,\\\mathrm {R} =&\mathrm {M} ^{2}+(\mathrm {M} f-\mathrm {N} )f-\mathrm {P} ,\\\mathrm {S} =&\mathrm {M} ^{2}g-\mathrm {M} (\mathrm {P+N} f)+\mathrm {N} ^{2},\\\mathrm {T} =&\mathrm {M} m-2\mathrm {N} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c52be96cf162a0233ef50d4afdcb7d60b294c7e)
on aura
![{\displaystyle x=-{\frac {\mathrm {Q+R} y+(m-f)y^{2}}{\mathrm {S+T} y+y^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfa03a320ccebfaeb8a03a3417b329cced873b94)
et l’équation de condition sera
![{\displaystyle \mathrm {M} \left[\mathrm {Q+R} y+(m-f)y^{2}\right]^{2}+(y-\mathrm {N} )\left[\mathrm {Q+R} y+(m-f)y^{2}\right]\left(\mathrm {S+T} y+y^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e052c992ddfb72473c5573679b83696fb172b593)
![{\displaystyle +\left[\mathrm {P} -(m-f)y\right]\left(\mathrm {S+T} y+y^{2}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf2bd7b9cbfee063e1ddbc21b0af772af33afd92)