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facile de trouver que ces valeurs seront, pour la quantité $t,$

$\mathrm {{\frac {2(MP+NQ)}{P^{2}+Q^{2}}},\quad {\frac {2(M'P'+N'Q')}{P'^{2}+Q'^{2}}},\quad {\frac {2(M''P''+N''Q'')}{P''^{2}+Q''^{2}}}} ,$

et pour la quantité $u,$

$\mathrm {{\frac {M^{2}+N^{2}}{P^{2}+Q^{2}}},\quad {\frac {M'^{2}+N'^{2}}{P'^{2}+Q'^{2}}},\quad {\frac {M''^{2}+N''^{2}}{P''^{2}+Q''^{2}}}} ,$

de sorte qu’on aura (43)

${\begin{alignedat}{4}&&t'=&\mathrm {\frac {2(MP+NQ)}{P^{2}+Q^{2}}} ,\ \ &t''=&\mathrm {\frac {2(M'P'+N'Q')}{P'^{2}+Q'^{2}}} ,\ \ &t'''=&\mathrm {\frac {2(M''P''+N''Q'')}{P''^{2}+Q''^{2}}} ,\\\mathrm {et} \\&&u'=&\mathrm {\frac {M^{2}+N^{2}}{P^{2}+Q^{2}}} ,&u''=&\mathrm {\frac {M'^{2}+N'^{2}}{P'^{2}+Q'^{2}}} ,&u'''=&\quad \mathrm {\frac {M''^{2}+N''^{2}}{P''^{2}+Q''^{2}}} .\end{alignedat}}$

Effectivement, si l’on met ces valeurs dans les coefficients $\mathrm {E,F} ,\ldots$ des équations en $t$ et en $u,$ lesquels doivent être, comme on sait, exprimés ainsi

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {E} =&t'\ +t''\,+t''',\qquad &\mathrm {F} =&t't''\,\ +t't'''\,\ +t''t''',\qquad &\mathrm {G} =&t't''t''',\\\mathrm {H} =&u'+u''+u''',&\mathrm {K} =&u'u''+u'u'''+u''u''',&\mathrm {L} =&u'u''u''',\\\end{alignedat}}$

on aura des fonctions de $a,b,c,d,$ qui demeureront les mêmes, quelque permutation qu’on fasse entre les quantités $a,b,c,d,$ et qui pourront par conséquent s’exprimer par des fonctions rationnelles des coefficients $m,n,p,q$ de la proposée dont les quantités $a,b,c,d$ sont les racines. De sorte qu’on pourra par ce moyen trouver directement les valeurs des coefficients dont il s’agit, comme nous l’avons déjà pratiqué plusieurs fois dans le cours de ces recherches.

Au reste, dès qu’on connaîtra les trois racines $t',t'',t'''$ de l’équation en $t,$ on pourra par leur moyen trouver les racines correspondantes $u',u'',u'''$ de l’équation en $u,$ sans être obligé de résoudre aucune équation. Car si l’on prend ces trois expressions

${\begin{aligned}&u'+u''+u''',\\&t'u'+t''u''+t'''u''',\\&t'^{2}u'+t''^{2}u''+t'''^{2}u''',\end{aligned}}$