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c’est-à-dire

$t=\mathrm {\frac {2(MP+NQ)}{P^{2}+Q^{2}}} \quad {\text{et}}\quad u=\mathrm {\frac {M^{2}+N^{2}}{P^{2}+Q^{2}}} .$

Or je dis que les quantités $t$ et $u$ ne peuvent dépendre que d’équations du troisième degré telles que

${\begin{aligned}t^{3}\,-\mathrm {E} t^{2}\ +\mathrm {F} t\ -\mathrm {G} =&0,\\u^{3}-\mathrm {H} u^{2}+\mathrm {K} u-\mathrm {L} =&0,\end{aligned}}$

les coefficients $\mathrm {E,F,G,H,K,L}$ étant des fonctions rationnelles des coefficients $m,n,p,q$ de la proposée. De sorte que, nommant $t',t'',t'''$ les trois racines de la première équation, et $u',u'',u'''$ les racines correspondantes de la seconde, on aura ces trois équations en $f$

${\begin{aligned}f^{2}+t'f\ \ +u'\ \ =&0,\\f^{2}+t''f\ +u''\ =&0,\\f^{2}+t'''f+u'''=&0,\\\end{aligned}}$

dans lesquelles pourra se décomposer l’équation du sixième degré en $f$ dont nous venons de parler.

Pour démontrer cette proposition, il n’y a qu’à chercher de combien de valeurs différentes sont susceptibles les quantités $t$ et $u,$ c’est-à-dire les fonctions

$\mathrm {\frac {MP+NQ}{P^{2}+Q^{2}}} \quad {\text{et}}\quad \mathrm {\frac {M^{2}+N^{2}}{P^{2}+Q^{2}}}$

des racines $a,b,c,d$ de la proposée, en supposant que l’on fasse entre ces racines toutes les permutations possibles ; car il est clair que les valeurs qui en résulteront seront les racines des équations en $t$ et en $u.$ Pour cela je remarque d’abord que le nombre total des permutations des quatre quantités $a,b,c,d,$ doit être, suivant les règles-connues, $4.3.2.1=24\,:$ de sorte que, généralement parlant, les équations en $t$ et en $u$ devraient monter au vingt-quatrième degré. Mais il arrive ici que parmi les permutations dont il s’agit il y en a plusieurs qui redonnent les mêmes valeurs de $t$ et $u,$ et qui, par conséquent, doivent être rejetées.

En effet :