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${\begin{aligned}\mathrm {M} '\ =&\left(a^{3}+c^{3}-b^{3}-d^{3}\right)(a-c)-\left(a^{3}-c^{3}\right)(a+c-b-d),\\\mathrm {N} '\ =&\left(a^{3}+c^{3}-b^{3}-d^{3}\right)(b-d)-\left(b^{3}-d^{3}\right)(a+c-b-d),\\\mathrm {P} '\ =&\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)(a-c)-\left(a^{2}-c^{2}\right)(a+c-b-d),\\\mathrm {Q} '\ =&\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)(b-d)-\left(b^{2}-d^{2}\right)(a+c-b-d),\\\\\mathrm {M} ''=&\left(a^{3}+d^{3}-b^{3}-c^{3}\right)(a-d)-\left(a^{3}-d^{3}\right)(a+d-b-c),\\\mathrm {N} ''=&\left(a^{3}+d^{3}-b^{3}-c^{3}\right)(b-c)-\left(b^{3}-d^{3}\right)(a+d-b-c),\\\mathrm {P} ''=&\left(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}\right)(a-d)-\left(a^{2}-d^{2}\right)(a+d-b-c),\\\mathrm {Q} ''=&\left(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}\right)(b-c)-\left(b^{2}-d^{2}\right)(a+d-b-c),\end{aligned}}$

on trouvera les six valeurs suivantes

${\begin{array}{ll}-\mathrm {\frac {M+N{\sqrt {-1}}}{P+Q{\sqrt {-1}}}} ,&-\mathrm {\frac {M-N{\sqrt {-1}}}{P-Q{\sqrt {-1}}}} ,\\-\mathrm {\frac {M'+N'{\sqrt {-1}}}{P'+Q'{\sqrt {-1}}}} ,&-\mathrm {\frac {M'-N'{\sqrt {-1}}}{P'-Q'{\sqrt {-1}}}} ,\\-\mathrm {\frac {M''+N''{\sqrt {-1}}}{P''+Q''{\sqrt {-1}}}} ,&-\mathrm {\frac {M''-N''{\sqrt {-1}}}{P''-Q''{\sqrt {-1}}}} ,\end{array}}$

qui seront donc les racines de l’équation en $f\,;$ d’où l’on voit que cette équation montera en effet au sixième degré, comme nous l’avons déjà conclu par une autre voie.

43. Il s’agit maintenant de voir si cette équation du sixième degré peut s’abaisser à un degré inférieur ; or c’est ce qui doit avoir lieu en effet, comme je vais le prouver, d’après la forme que je viens de trouver pour les six racines de l’équation en question. Car supposons que les deux racines

$-\mathrm {\frac {M+N{\sqrt {-1}}}{P+Q{\sqrt {-1}}}} \quad {\text{et}}\quad -\mathrm {\frac {M-N{\sqrt {-1}}}{P-Q{\sqrt {-1}}}}$

soient représentées par l’équation du second degré

$f^{2}+tf+u=0,$

on aura donc par la nature des équations

$t=\mathrm {{\frac {M+N{\sqrt {-1}}}{P+Q{\sqrt {-1}}}}+{\frac {M-N{\sqrt {-1}}}{P-Q{\sqrt {-1}}}}} \quad {\text{et}}\quad u=\mathrm {{\frac {M+N{\sqrt {-1}}}{P+Q{\sqrt {-1}}}}\times {\frac {M-N{\sqrt {-1}}}{P-Q{\sqrt {-1}}}}} ,$