Si l’on ajoute ensemble les deux premières et les deux dernières, on aura ces deux-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}&a^{3}+b^{3}+\left(a^{2}+b^{2}\right)f+(a+b)g+2h=0,\\&c^{3}+d^{3}+\left(c^{2}+d^{2}\right)f+(c+d)g+2h=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56875817efd548a403efc1c470dd176d71854e75)
qui, étant retranchées l’une de l’autre, donnent
![{\displaystyle a^{3}+b^{3}-c^{3}-d^{3}+\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)f+(a+b-c-d)g=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b7f101b17afad74cbb54aa189b68ce23176def)
où il n’y a plus que deux inconnues
et ![{\displaystyle g.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23a3f421f58ef3bc6f9ec70e883e1496ff871e9f)
Qu’on retranche maintenantles deux premièresl’une de l’autre, comme aussi les deux dernières, on aura ces deux-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}&a^{3}-b^{3}+\left(a^{2}-b^{2}\right)f+(a-b)g+2k=0,\\&c^{3}-d^{3}+\left(c^{2}-d^{2}\right)f+(c-d)g+2k{\sqrt {-1}}=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99c268748a3179c0ece6dede2ec69207d306f6d2)
dont la seconde étant multipliée par
et ensuite ajoutée à la première, on aura
![{\displaystyle a^{3}-b^{3}+\left(c^{3}-d^{3}\right){\sqrt {-1}}+\left[a^{2}-b^{2}+\left(c^{2}-d^{2}\right){\sqrt {-1}}\right]f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1767c76e7c37d281a8e89ad3724d34fc8c7c6b3)
![{\displaystyle +\left[a-b+(c-d){\sqrt {-1}}\right]g=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43dc4a82c417580ac98a5f9203094048badb1163)
équation qui, étant combinée avec celle qu’on a trouvée ci-dessus, servira à déterminer
et ![{\displaystyle g.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23a3f421f58ef3bc6f9ec70e883e1496ff871e9f)
Chassant
on aura une équation en
qui donnera
![{\displaystyle f=-{\frac {\begin{aligned}&\left(a^{3}+b^{3}-c^{3}-d^{3}\right)\left[a-b+(c-d){\sqrt {-1}}\right]\\&\qquad \qquad \qquad \quad -\left[a^{3}-b^{3}+\left(c^{3}-d^{3}\right){\sqrt {-1}}\right](a+b-c-d)\end{aligned}}{\begin{aligned}&\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)\left[a-b+(c-d){\sqrt {-1}}\right]\\&\qquad \qquad \qquad \quad -\left[a^{2}-b^{2}+\left(c^{2}-d^{2}\right){\sqrt {-1}}\right](a+b-c-d)\end{aligned}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7551395aa95185dcef3fde7462555a581b2affd7)
d’où l’on pourra déduire facilement toutes les différentes valeurs dont la quantité
est susceptible, en faisant toutes les permutations possibles entre les quatre racines
De cette manière, si l’on fait, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {M} =&\left(a^{3}+b^{3}-c^{3}-d^{3}\right)(a-b)-\left(a^{3}-b^{3}\right)(a+b-c-d),\\\mathrm {N} =&\left(a^{3}+b^{3}-c^{3}-d^{3}\right)(c-d)-\left(c^{3}-d^{3}\right)(a+b-c-d),\\\mathrm {P} =&\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)(a-b)-\left(a^{2}-b^{2}\right)(a+b-c-d),\\\mathrm {Q} =&\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}\right)(c-d)-\left(c^{2}-d^{2}\right)(a+b-c-d),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ede2773c8415cf4ec4e2f15391a78ff5aa4d9a8)