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trois dimensions des mêmes quantités ; de sorte que l’on aura, pour la détermination des inconnue $f,g,h,$ ces trois équations

$\mathrm {A=0,\quad B=0,\quad C} =0,$

dont la première sera du premier degré, la seconde du second, et la troisième du troisième degré ; d’où il est facile de voir qu’on aura par l’élimination une équation finale e n $f$ ou $g,$ ou $h,$ qui sera du degré $1.2.3,$ c’est-à-dire du sixième. Il paraît donc par là que la méthode dont il s’agit ne saurait réussir, puisqu’elle conduit à une réduite d’un degré supérieur à la proposée ; mais il pourrait se faire que cette réduite du sixième degré pût s’abaisser à un degré inférieur ; c’est ce qu’il est bon d’examiner à priori avant d’entreprendre le calcul que nous venons d’indiquer.

42. Pour cet effet il faut chercher quelle fonction des racines $a,b,c,d$ devra être l’indéterminée $f$ par exemple, pour que la transformée $en$ y se réduise à la forme

$y^{4}+\mathrm {D} =0.$

Or cette équation en $y$ donne ces quatre racines (25)

${\begin{aligned}y=&\pm {\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} }},\\y=&\pm {\sqrt {-1}}{\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} }}\,;\end{aligned}}$

ainsi, en faisant pour plus de simplicité ${\sqrt[{4}]{-\mathrm {D} }}=k,$ il n’y aura qu’à mettre successivement dans l’équation subsidiaire

$x^{3}+fx^{2}+gx+h+y=0,$

$a,b,c,d$ à la place de $x,$ et $k,-k,k{\sqrt {-1}},-k{\sqrt {-1}}$ à la place de $y,$ et l’on aura ces quatre-ci

${\begin{alignedat}{2}a^{3}+&a^{2}f+&ag+&h+k=0,\\b^{3}+&b^{2}f+&bg+&h-k=0,\\c^{3}+&c^{2}f+&cg+&h+k{\sqrt {-1}}=0,\\d^{3}+&d^{2}f+&dg+&h-k{\sqrt {-1}}=0,\end{alignedat}}$

d’où l’on pourra tirer les valeurs de $f,g,h$ et $k.$