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par conséquent

$f=-{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}{a+b-c-d}}={\frac {m}{2}}+{\frac {m^{3}-4mn+8p}{2(a+b-c-d)^{2}}}.$

Or nous avons trouvé (32) que la réduite en $t$ a pour racines les différentes valeurs de $(a+b-c-d)^{2}\,;$ donc on aura, en général,

$f={\frac {m}{2}}+{\frac {m^{3}-4mn+8p}{2t}},$

d’où l’on voit que la réduite en $f$ n’est autre chose qu’une transformation de la réduite en $t$ du numéro cité.

41. Après avoir vu comment la méthode de Tschirnaus peut s’appliquer aux équations du quatrième degré en faisant évanouir deux termes de la proposée, il ne sera pas inutile de voir encore ce qui en résulterait si l’on voulait faire évanouir à la fois tous les termes intermédiaires, comme on a fait pour le troisième degré.

On aurait donc trois termes à faire disparaître, savoir le second, le troisième et le quatrième, ce qui exigerait une équation subsidiaire qui contînt trois indéterminées, et qui fût de cette forme

$x^{3}+fx^{2}+gx+h+y=0.$

On éliminerait donc $x$ par le moyen de cette équation et de la proposée

$x^{4}+mx^{3}+nx^{2}+px+q=0,$

et l’on aurait une transformée en $y$ du quatrième degré, telle que

$y^{4}+\mathrm {A} y^{3}+\mathrm {B} y^{2}+\mathrm {C} y+\mathrm {D} =0,$

dans laquelle il faudrait supposer $\mathrm {A=0,\ B=0,\ C} =0,$ pour avoir l’équation à deux termes

$y^{4}+\mathrm {D} =0.$

Or, de ce que nous avons démontré, en général, dans le n^o 14, il s’ensuit que $\mathrm {A}$ sera une fonction d’une dimension des trois indéterminées $f,g,h,$ que $\mathrm {B}$ sera une fonction de deux dimensions, et $\mathrm {C}$ une fonction de