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laquelle est, comme on voit, résoluble à la manière de celles du second degré. Ainsi l’on connaîtra $f$ et $y\,;$ après quoi on aura sur-le-champ

$x={\frac {q-\left(n-mf+f^{2}\right)\left({\dfrac {\mathrm {A} }{4}}+y\right)+\left({\dfrac {\mathrm {A} }{4}}+y\right)^{2}}{f^{3}-mf^{2}+nf-p+(m-2f)\left({\dfrac {\mathrm {A} }{4}}+y\right)}}\,;$

et les quatre valeurs de $y$ tirées de l’équation précédente donneront toujours les quatre mêmes racines de la proposée, quelle que soit la racine $f$ qu’on emploie ; ce qu’on pourrait démontrer, s’il en était besoin, d’une manière analogue à celle du n^o 28.

40. Si l’on voulait savoir à priori pourquoi la réduite en $f$ que nous venons de trouver ci-dessus est nécessairement du troisième degré, il faudrait chercher quelle fonction des racines $a,b,c,d$ doit être la valeur de $f.$ Pour cela on reprendra l’équation subsidiaire

$x^{2}+fx+g+y=0,$

et l’on y substituera successivement $a,b,c,d$ à la place de $x,$ et à la place de $y$ les quatre racines de l’équation en $y$ ci-dessus ; mais il n’est pas nécessaire de connaître la valeur de ces dernières racines, il suffit de considérer que, comme l’équation ne contient aucune puissance impaire de $y$, ses racines doivent être deux à deux égales et de signes contraires ; en sorte qu’on pourra les représenter par $y',-y',y'',-y''.$ Faisant donc ces substitutions dans l’équation $x^{2}+fx+g+y=0,$ on aura ces quatre-ci

${\begin{aligned}&a^{2}+fa+g+y'\ =0,\\&b^{2}+fb\,+g-y'\ =0,\\&c^{2}+fc\,+g+y''\,=0,\\&d^{2}+fd+g-y''\,=0\,;\end{aligned}}$

d’où, chassant d’abord $y'$ et $y'',$ on tire

${\begin{aligned}&a^{2}+b^{2}+f(a+b)+2g=0,\\&c^{2}+d^{2}+f(c+d)+2g=0,\end{aligned}}$