Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/282

pour avoir l’équation

$g'^{4}-\mathrm {A} g'^{3}+\mathrm {B} g'^{2}-\mathrm {C} g'+\mathrm {D} =0,$

et remettant maintenant $g+y$ à la place de $g',$ on aura, après avoir ordonné les termes par rapport à $y,$ cette transformée

${\begin{aligned}y^{4}+&(4g-\mathrm {A} )y^{3}+\left(6g^{2}-3g\mathrm {A} +\mathrm {B} \right)y^{2}\\+&\left(4g^{3}-3\mathrm {A} g^{2}+2\mathrm {B} g-\mathrm {C} \right)y+g^{4}-\mathrm {A} g^{3}+\mathrm {B} g^{2}-\mathrm {C} g+\mathrm {D} =0,\end{aligned}}$

dans laquelle on est maître de faire évanouir deux termes à volonté en déterminant convenablement les quantités $f$ et $g.$

Faisons donc évanouir, comme nous nous le sommes proposé, le second et le quatrième terme ; on aura pour cet effet les équations

${\begin{aligned}&4g-\mathrm {A} =0,\\&4g^{3}-3\mathrm {A} g^{2}+2\mathrm {B} g-\mathrm {C} =0,\end{aligned}}$

dont la première donne

$g={\frac {\mathrm {A} }{4}},$

ce qui étant substitué dans la seconde, on aura, en ôtant les fractions,

$\mathrm {A^{3}-4AB+8C} =0,$

équation qui, en remettant pour $\mathrm {A,B,C}$ leurs valeurs en $f$ montera au troisième degré, et deviendra, après avoir ordonné les termes,

$\left(m^{3}-4mn+8p\right)f^{3}-\left(3m^{4}-14m^{2}n+8n^{2}+2mp-32q\right)f^{2}$

$+\left[m^{5}-16m^{3}n+20m^{2}p+16m\left(n^{2}-2q\right)-16np\right]f$

$-m^{6}+6m^{4}n-8m^{3}np-8m^{2}\left(n^{2}-q\right)+8mn^{2}p-8p^{2}=0.$

Ayant donc déterminé $f$ par cette équation, l’équation en $y$ deviendra, à cause de $g={\frac {\mathrm {A} }{4}},$

$y^{4}-\mathrm {\left({\frac {3A^{2}}{8}}-B\right)} y^{2}-\mathrm {{\frac {3A^{4}}{256}}+{\frac {A^{2}B}{16}}-{\frac {AC}{4}}+D} =0,$

ou bien, en mettant à la place de $\mathrm {C}$ sa valeur ${\frac {\mathrm {AB} }{2}}-{\frac {\mathrm {A} ^{3}}{8}},$

$y^{4}-\mathrm {\left({\frac {3A^{2}}{8}}-B\right)} y^{2}+\mathrm {{\frac {5A^{4}}{256}}-{\frac {A^{2}B}{16}}+D} =0,$