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On aura donc

$x={\frac {q-g'\left(n-mf+f^{2}\right)+g'^{2}}{f^{3}-mf^{2}+nf-p+(m-2f)g'}},$

et substituant cette valeur dans $x^{2}+fx+g'=0,$ on aura

$\left[q-g'\left(n-mf+f^{2}\right)+g'^{2}\right]^{2}$

$+f\left[q-g'\left(n-mf+f^{2}\right)+g'^{2}\right]\left[f^{3}-mf^{2}+nf-p+(m-2f)g'\right]$

$+g'\left[f^{3}-mf^{2}+nf-p+(m-2f)g'\right]^{2}=0,$

où il ne s’agira plus que de remettre $g+y$ à la place de $g'$ et de développer les termes en les ordonnant par rapport à $y.$

Soient, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {F} =&f^{3}-mf^{2}+nf-p,\\\mathrm {G} =&f^{2}-mf+n,\\\mathrm {H} =&2f-m,\end{aligned}}$

et l’équation précédente deviendra

$\left(q-\mathrm {G} g'+g'^{2}\right)^{2}+f\left(q-\mathrm {G} g'+g'^{2}\right)(\mathrm {F-H} g')+g'(\mathrm {F-H} g')^{2}=0,$

laquelle étant d’abord ordonnée par rapport à $g'$ devient

$g'^{4}-\left(2\mathrm {G} +f\mathrm {H} -\mathrm {H} ^{2}\right)g'^{3}+\left(\mathrm {G} ^{2}+2q+f\mathrm {F} +f\mathrm {GH} -2\mathrm {FH} \right)g'^{2}$

$-\left(2q\mathrm {G} +fq\mathrm {H} +f\mathrm {F} \mathrm {G} -\mathrm {F} ^{2}\right)g'+q^{2}+qf\mathrm {F} =0,$

et en remettant les valeurs de $\mathrm {F,G,H} ,$

$g'^{4}-\left(mf+2n-m^{2}\right)g'^{3}+\left[nf^{2}-(mn-3p)f+n^{2}-2mp+2q\right]g'^{2}$

$-\left[pf^{3}-(mp-4q)f^{2}+(np-3mq)f-p^{2}+2nq\right]g'$

$+q\left(f^{4}-mf^{3}+nf^{2}-pf+q\right)=0.$

Faisons maintenant

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&mf+2n-m^{2},\\\mathrm {B} =&nf^{2}-(mn-3p)f+n^{2}-2mp+2q,\\\mathrm {C} =&pf^{3}-(mp-4q)f^{2}+(np-3mq)f-p^{2}+2nq,\\\mathrm {D} =&q\left(f^{4}-mf^{3}+nf^{2}-pf+q\right),\end{aligned}}$